$A=\biggl( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \biggr)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について，
\[ A^n=\biggl( \begin{array}{cc}
\cos n \theta & -\sin n \theta \\
\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array} \biggr) \]
となることを数学的帰納法で示せ．
(2)$\theta=20^\circ$のとき，$A^m=E$となる最小の自然数$m$を求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$である．
(3)$\theta=20^\circ$のとき，(2)で求められた$m$を用いて
\[ A+A^2+\cdots +A^m \]
を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \biggl( \frac{1}{2} \biggr)$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^2}$を示せ．
(3)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_n=f \biggl( \frac{1}{2^n} \biggr)$は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数$r,\ s$を用いて表される実数$r+s\sqrt{2}$は$s \neq 0$ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．

サイコロを$n$回ふって，数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$を次のように定める．ただし，$n \geqq 3$とする．

(i) $1$回目に$1$の目が出たときは$a_1=0$，それ以外の目が出たときは，$a_1=1$とする．
(ii) $k$回目に$1$の目が出たときは，$a_k=0$とする．
(iii) $k$回目に$6$の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+k$とする．
\mon[$\tokeishi$] $k$回目に$1$と$6$以外の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+1$とする．

自然数$k (1 \leqq k \leqq n)$に対して，$a_k=k$となる確率を$p_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_k (2 \leqq k \leqq n)$を$p_{k-1}$を用いて表せ．
(3)$p_k (1 \leqq k \leqq n)$を$k$の式で表せ．

次の文章の[　]に適する答えを記入せよ．\\
自然数28のすべての約数は1，2，4，7，14，28であり，その和は$1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$となり，28の2倍である．このように，自然数$m$で，そのすべての約数の和が$2m$となるような$m$を完全数よ呼ぶ．以下，$p,\ q$は相異なる素数を表すとする．$m=pq$の形の自然数で完全数となるものを探そう．$p,\ q$が相異なる素数であるから，$pq$の約数は，[　]の4つであり，その和が$2pq$と等しいから，$\left( [　] \right) \left( [　] \right)=2$となる．$XY=2$となる自然数$X,\ Y$は$(X,\ Y)=(1,\ 2),\ (2,\ 1)$の二組しかないから，$p<q$とすると，$p=[　],\ q=[　]$となる．したがって，$pq$の形の完全数は[　]のみということがわかる．

表が出る確率が$p$，裏がでる確率が$1-p$である1個のコインがある．ただし，$p$は$0<p<1$である定数とする．このコインをくりかえし投げる試行を考える．$n$を2以上の自然数とし，$Q_n$を$n$回目に初めて2回続けて表が出る確率とする．以下の問いに答えよ．

(1)$Q_2,\ Q_3,\ Q_4$を$p$を用いて表せ．
(2)1回目に表が出た場合と裏が出た場合に分けることによって，$Q_{n+2}$を$Q_n,\ Q_{n+1}$および$p$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{3}{7}$のとき，一般項$Q_n$を$n$を用いて表せ．

$n$と$k$を自然数，$t$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int x \sin tx \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2}{t}\pi} |x \sin tx| \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle I_k(t)=\int_{\frac{k-1}{t}\pi}^{\frac{k}{t}\pi} |x \sin tx| \, dx$を，$k$が偶数である場合に求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2n}{t}\pi} |x \sin tx| \, dx$を求めよ．

$a,\ b$を実数の定数として，$2$次の正方行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & a-b \\
0 & b
\end{array} \right) \]
と定める．自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$を中心とし，${150}^\circ$だけ回転すると，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った．$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x \geqq 0$と自然数$n$に対して，$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．一方，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ．
(3)さいころを$3$回続けて投げたとき，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ．また，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ．
(4)$\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき，$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ．

サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2,\ 3,\ 1$の順で目が出れば$2+3+1=6$点，$2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$点である確率$P(1)$，$P(2)$，$P(3)$，$P(4)$，$P(5)$をそれぞれ求めよ．
(3)得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．

$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$とおく．平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{w}=(x,\ y)$を$\overrightarrow{w}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{b}$と表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を$x,\ y$で表せ．
(2)$(1)$の$k,\ l$に対して，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき，$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列$PQ$，$QP$，$P^2$，$Q^2$を求めよ．
(4)行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき，自然数$n$に対して$R^n$を類推し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．ただし，$s,\ t$は実数とする．