自然数$n$に対して，$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す．たとえば$6$以下の自然数で，$6$との最大公約数が$1$であるものは，$1$，$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である．$f(1339)$について考える．$1339$の素因数分解を$1339=pq$（$p,\ q$は素数で$p<q$）とすると$p=[ア][イ]$，$q=[ウ][エ][オ]$となる．したがって，$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$，$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である．こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる．同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である．

自然数$n$に対して，$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す．たとえば$6$以下の自然数で，$6$との最大公約数が$1$であるものは，$1$，$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である．$f(1339)$について考える．$1339$の素因数分解を$1339=pq$（$p,\ q$は素数で$p<q$）とすると$p=[ア][イ]$，$q=[ウ][エ][オ]$となる．したがって，$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$，$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である．こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる．同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である．

関数$f(x)$の第$n$次導関数を$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(x)$で表す．いま，自然数$n$に対して関数$H_n(x)$を次で定義する．
\[ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} \]
以下の問いに答えよ．

(1)$H_1(x),\ H_2(x),\ H_3(x)$を求めよ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx} H_n(x)$を$H_n(x)$と$H_{n+1}(x)$を用いて表せ．さらに，$n$に関する数学的帰納法により$H_n(x)$が$n$次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)$n \geqq 3$のとき，定積分
\[ S_n(a)=\int_0^a xH_n(x) e^{-x^2} \, dx \]
を$H_{n-1}(a)$，$H_{n-2}(a)$，$H_{n-2}(0)$を用いて表せ．ただし，$a$は実数とする．
(4)$n=6$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S_6(a)$を求めよ．
必要ならば，自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x^2}=0$が成り立つことを用いてよい．

次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．

$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，$x$軸，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．$n$を自然数とし，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．また，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする．

(1)$4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする．このとき$M_k=[キ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$[ク]$となる．ここで，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=[ケ]$を用いると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=[コ]$と計算される．
(2)以下では，曲線$y=f(x)$は下に凸とする．
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を
\[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \]
とおく．$x$軸，直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$，直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき，$N_k=[サ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$[シ]$となる．
\begin{itemize}
ケ，コの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua e^a \phantom{AA} & \marub e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue (a-1)e^{-a} \\ \\
\maruf \log a & \marug \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj (a-1) \log a
\end{array} \]
キ，サの解答群

\mon[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

ク，シの解答群
\[ \begin{array}{ll}
\marua \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\maruc \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marue \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\marug \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marui \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} &
\end{array} \]
\end{itemize}

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$|x+1|-3 |x-1|=4x+1$をみたす$x$は$x=[ア]$である．
(2)$3$つのさいころを同時に投げるとき，$2$つは同じで他の$1$つは異なる目が出る確率は$[イ]$であり，$3$つとも異なる目が出る確率は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)$とする．$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=[エ]$であり，$\displaystyle S_n>\frac{2011}{2012}$となるような最小の自然数$n$の値は$n=[オ]$である．
(4)$xy$平面において，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=2x-1$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点は直線$y=[カ]$上を動く．
(5)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[キ]$，$\sin \theta=[ク]$である．
(6)$f(x)=\sqrt{x}$のとき，$f^\prime(x)=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}^{\pi^2} \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx=[コ]$である．

次の文章内の$[ア]$～$[コ]$に適当な式または数値を入れよ．ただし，$[ク]$～$[コ]$はそれぞれ$3$つの自然数の組である．

(1)$xy$平面上で，点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える．この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）で交わるとき，$y$は$t$と$x$で，
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される．この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して，$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る．
この方程式を解いて，
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る．また，式$(ⅰ)$から，
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる．ただし，$t$の範囲は$0<t<[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）の各座標がともに有理数であるとき，式$(ⅰ)$より$t$は有理数である．よって，$m,\ n$（ただし，$m>n$）を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば，式$(ⅱ)$，$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される．
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$（ただし，$a<b$）で，$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$，かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである．

$m$を自然数とする．$m^2-1$が$8$で割り切れるための必要十分条件は，$m$が奇数であることを示せ．

$A$は$2$次正方行列とし，$E$，$O$はそれぞれ$A$と同じ型の単位行列，零行列とする．$A$は$kE$（$k$は実数）の形でなく，$A^2-3A+2E=O$を満たす．以下の問いに答えなさい．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$A^3=aA+bE$を満たす実数$a,\ b$を求めなさい．
(2)$A^n=a_nA+b_nE$を満たす実数$a_n,\ b_n$を求めなさい．
(3)$A^n$の逆行列が$xA+yE \ (x,\ y\text{は実数})$と表せるとき，$x,\ y$を求めなさい．

サイコロを$n$回ふって，数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$を次のように定める．ただし，$n \geqq 3$とする．

(i) $1$回目に$1$の目が出たときは$a_1=0$，それ以外の目が出たときは，$a_1=1$とする．
(ii) $k$回目に$1$の目が出たときは，$a_k=0$とする．
(iii) $k$回目に$6$の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+k$とする．
\mon[$\tokeishi$] $k$回目に$1$と$6$以外の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+1$とする．

自然数$k (1 \leqq k \leqq n)$に対して，$a_k=k$となる確率を$p_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_k (2 \leqq k \leqq n)$を$p_{k-1}$を用いて表せ．
(3)$p_k (1 \leqq k \leqq n)$を$k$の式で表せ．

$n,\ a_n,\ b_n$を自然数とし，$(2+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{3}b_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2)$(2-\sqrt{3})^n=a_n-\sqrt{3}b_n$となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$(2+\sqrt{3})^n$以下の整数のうち最大のものを$pa_n+q$とする．$p$と$q$の値を求めよ．