等差数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=1+3(n-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の設問に答えよ．

(1)新しく数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．このとき$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} b_n$を求めよ．
(2)自然数$k$に対し，新しく数列$\{c_n\}$を
\[ c_n=a_{kn} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．このとき
\[ 800 \leqq \sum_{n=1}^{10} c_n \leqq 900 \]
となる$k$の値を求めよ．

$\{\theta_k\}$を初項$0$，交差$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の等差数列，$\{r_k\}$を初項$1$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，自然数$k$に対して，行列$A_k$，$B_k$を
\[ A_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & r_k \sin \theta_k \\
r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right),\quad B_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & -r_k \sin \theta_k \\
-r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right) \]
とおく．$C_k=A_kA_{k+1}$，$D_k=B_k B_{k+1}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_k$を$k$を用いて表せ．
(2)$D_k$を$k$を用いて表せ．
(3)$m$を自然数とするとき，次の行列の和
\[ \left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^2+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^4+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}} C_k \right)^6+\cdots +\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^{2m} \]
を求めよ．
(4)$C_k^2D_k^2$を求めよ．
(5)次の行列の和
\[ C_1^2D_1^2+2C_2^2D_2^2+3C_3^2D_3^2+\cdots +nC_n^2D_n^2 \]
を$\left( \begin{array}{cc}
x_n & y_n \\
z_n & w_n
\end{array} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}z_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}w_n$を求めよ．
ただし，必要ならば，実数$a (a>1)$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{a^n}=0$が成り立つことを用いてよい．

次の各問いに答えよ．

(1)次の式を展開せよ．
\[ (x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1) \]
(2)$m$は自然数である．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2mx+6m-8=0 \]
が，実数解を持たないとき，$m$の値を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq 360^\circ$において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
\[ y=2 \sin^2 \theta+\cos \theta-2 \]
(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_1^2 (3x^2+4x+2) \, dx \]
(5)大小$2$つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|a-b| \geqq 3$となる確率を求めよ．
(6)半径$r$の球の体積$\displaystyle V=\frac{4 \pi r^3}{3}$を，$r$で微分して，導関数$V^\prime$を求めよ．これは，半径$r$の球の何を表しているか．

下の図のように硬貨を一辺$n$の正三角形の形に並べたとき，そこに並んだ硬貨の総数を$n$番目の三角数といい，$t_n$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$t_n$を$n$の式で表せ．
(2)$300$以下の自然数のうちに三角数はいくつあるか．
(3)$t_n$が$3$の倍数であるのは，$n$が$3$の倍数であるか，$n+1$が$3$の倍数であるかのいずれかのとき，またそのときに限ることを示せ．
(4)$300$以下の自然数のうちに$3$の倍数である三角数はいくつあるか．
(5)$300$以下の自然数のうちに$3$の倍数でもなく，三角数でもない数はいくつあるか．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．

$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．

(1)関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2)$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3)$S_1(t)$と$S_n(t) (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんを繰り返すゲームをする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$2$回多く勝った時点でゲームは終了とする．$1$回のじゃんけんで$\mathrm{A}$が勝つ確率，$\mathrm{B}$が勝つ確率，あいこの確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{3}$である．自然数$n$に対して，じゃんけんを$n$回行った時点でちょうどゲームが終了となる確率を$p_n$とおく．また，じゃんけんを$n$回行った時点で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$1$回多く勝っている確率を$q_n$とおき，ともに同じ回数だけ勝っている確率を$r_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ q_1$および$r_1$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$p_n$を$q_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 2$のとき，$q_n,\ r_n$のそれぞれを$q_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 2$のとき$q_n+kr_n=l(q_{n-1}+kr_{n-1})$を満たす実数$k,\ l$の値を$2$組求めよ．
(5)$(4)$で求めた$k,\ l$の値の$2$組を$k_1,\ l_1$と$k_2,\ l_2$とおく．ただし$k_1<k_2$とする．数列$\{q_n+k_1r_n\}$，数列$\{q_n+k_2r_n\}$，数列$\{q_n\}$，数列$\{r_n\}$の一般項をそれぞれ$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．
(6)数列$\{p_n\}$の一般項を$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．

$[　]$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

(1)$k$を自然数とすると，不等式
\[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \]
が成立する．この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle [ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right)$であるから，不等式
\[ \frac{1}{k}<[ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right) \]
を得る．この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより，
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=[ウ] \]
であることがわかる．
(2)自然数$n$に対し，
\[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
と定める．

(i) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ．

(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ．

（ヒント：$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより，$(ⅰ)$の結果が使える形に変形せよ．）
(iii) $n$を自然数とする．また，$p$は自然数で，等式
\[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \]
が成立しているとする．このとき，$p$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeishi$] $n$を自然数とし，$p$は$(ⅲ)$における通りであるとする．また，$q$は自然数で，等式
\[ a_n=\frac{s_p}{q} \]
が成立しているとする．このとき，$q$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ．

次の$(1)$と$(2)$に答えなさい．

(1)$k,\ l,\ m,\ n$は自然数とする．条件
\[ k \cdot l \cdot m \cdot n=k+l+m+n,\quad k \leqq l \leqq m \leqq n \]
を満たす組$(k,\ l,\ m,\ n)$をすべて求めなさい．
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_2x-\log_{\frac{1}{2}}(4-x)<1 \]

次の$[　]$を数値でうめよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$と表すとき，すべての自然数$n$について
\[ 3S_n=a_n+7 \cdot 3^n-6 \]
が成立するとする．このとき，$a_1=[$①$]$であり，すべての自然数$n$について
\[ a_{n+1}=[$②$]a_n+[$③$] \cdot 3^n \]
が成立する．いま，$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n}$とおくと，
\[ b_n=[$④$] \cdot ([$⑤$])^{n-1}+[$⑥$] \]
と表される．したがって，$a_n$が得られる．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{4a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_n-1<10^{-5}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし$\log_{10}2=0.3010$とする．