四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$はいずれも$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に直交し，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$60$度であり，
\[ \mathrm{AC} = \mathrm{OB} = 2,\quad \mathrm{OA}=3 \]
である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は[オ]$\sqrt{[カ]}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\sqrt{[キ]}$である．ただし，[カ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

$1$と$2$を用いて$n$桁の自然数を作る．このような$n$桁の自然数のうち，$3$の倍数となる数の個数を$a_n$，そうで
ない数の個数を$b_n$とする．
\[ a_1= [ク], \quad b_1=[ケ] \]
である．また，
\[ a_n+b_n = [コ]^n \]
であり，さらに，実数$p,\ q,\ r,\ s$を用いて，
\[ a_{n+1} = pa_n + qb_n \]
\[ b_{n+1} = ra_n +sb_n \]
と表すことができる．
\[ p=[サ],\quad q=[シ] \]
である．ここで，$c_n=\displaystyle\frac{a_n}{2^n}$とおくと，
\[ c_{n+1} = \frac{[ス]}{2}c_n + \frac{[セ]}{2}, \quad c_1 = [ソ] \]
となる．よって，
\[ a_n = \frac{[タ]}{3}\left([チ]\right)^n + \frac{[ツ]^n}{3} \]
である．

$k$を実数とする．$3$次関数
\[ f(x) = -x^3 + kx^2 +kx +1 \]
が$x=\alpha$で極小値をとり，$x=\beta$で極大値をとる．$3$点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$，$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$，$\mathrm{C}(\beta,\ f(\alpha))$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすとき，
\[ \alpha + \beta = \frac{[テ]}{3}k, \quad \alpha\beta = \frac{[ト]}{3}k \]
である．したがって，
\[ k= \frac{[ナ] \pm [ニ]\sqrt{[ヌ]}}{2} \]
となる．ただし，[ニ]は自然数，[ヌ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

$0 \leqq x \leqq 1$において，連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
1-2x \leqq f(x) \\
x \leqq f(x) \\
f(x) \leqq 1
\end{array}
\right.
\]
を満たす$2$次関数$f(x)$で，定積分$\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx$の値を最小にする関数は，
\[ f(x) = [ネ]x^2 + [ノ]x + [ハ] \]
であり，その最小値は$\displaystyle\frac{[ヒ]}{[フ]}$となる．ただし，[フ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は原点を出発して，さいころを$1$回投げるごとに，$2$以下の目が出たときには正の向きに$1$だけ進み，$3$以上の目が出たときには負の向きに$2$だけ進むものとする．

(1)さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にくる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．ただし，[イ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$-4$または$2$になる確率は$\displaystyle\frac{[ウ]}{[エ]}$である．ただし，[エ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

三角形OABにおいてOA$=4$，OB$=5$，AB$=7$とする．点Pは辺OAの中点，点Qは辺ABを$2:1$に内分する点とする．さらに点Rは辺OB上にあり$\angle$PQR$=90^\circ$である．このとき，
\[ \text{OR} = \frac{[オ]}{[カ]} \text{OB} \]
である．ただし，[カ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

曲線$x^2+y^2=100\ (x \geqq 0 \text{かつ} y \geqq 0)$を$C$とする．点P，Qは$C$上にあり，線分PQの中点をRとする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点Rは点Pに等しいものとする．

(1)点Pの座標が$(6,\ 8)$であり，点Qが$C$上を動くとき，点Rの軌跡は，
\[ \left( x-[キ]\right)^2 + \left(y-[ク]\right)^2 = [ケ],\]
\[ [コ] \leqq x \leqq [サ], \ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点P，Qが$C$上を自由に動くとき，点Rの動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]} \pi + [タ] \]
である．ただし，[ソ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

$1$辺の長さが$1$である正九角形$\mathrm{ABCDEFGHI}$の対角線$\mathrm{AE}$の長さは，
\[ [チ]+[ツ]\cos 20^\circ \]
である．ただし，$[ツ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
（図は省略）

$1 \leqq n \leqq 999$を満たす各自然数$n$に対し，$f(n)$を次のように定める．$n$の$100$の位，$10$の位，$1$の位の値を，それぞれ$\alpha$，$\beta$，$\gamma$とするとき，
\[ f(n) = \alpha+2\beta+3\gamma \]
とする．

(1)$1 \leqq n \leqq 998$とする．$f(n+1) < f(n)$となるとき，自然数$n$の$1$の位の値は[テ]あり，このとき$f(n)-f(n+1)$は[ト]または[ナ]である．ただし，$[ト] < [ナ]$とする．
(2)$1 \leqq n \leqq 999$とする．$f(n)=n$となる自然数$n$は[ニ]または[ヌ]である．ただし，$[ニ] < [ヌ]$とする．

次の空欄に当てはまる数字を書け．

(1)$\mathrm{A}$の袋には赤玉$1$個と黒玉$15$個，$\mathrm{B}$の袋には黒玉$16$個が入っている．それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出して交換する，という試行を$n$回繰り返したとき，赤玉が$\mathrm{A}$の袋に入っている確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数である．例えば，
\[ p_1 = \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]},\ p_2 = \frac{[$5$][$6$][$7$]}{[$8$][$9$][$10$]} \]
である．$p_{n+1}$を$p_n$で表すと，$p_{n+1}=\displaystyle\frac{[$11$]}{[$12$]}p_n+\displaystyle\frac{[$13$]}{[$14$][$15$]}$となるので，これより
\[ p_n = \frac{[$16$]}{[$17$]}\left\{1+\left(\frac{[$18$]}{[$19$]}\right)^n\right\} \]
と求まる．
(2)赤玉$7$個，白玉$10$個，青玉$n$個が入った袋から，同時に$4$個の玉を取り出すとき，それらが赤玉$1$個，白玉$2$個，青玉$1$個である確率を$q_n$とする．ただし，$n$は自然数である．$\displaystyle\frac{q_{n+1}}{q_n}$を$n$の式で表すと，
\[ \frac{q_{n+1}}{q_n} = \frac{n^2+[$20$][$21$]n+[$22$][$23$]}{n^2+[$24$][$25$]n} \]
となる．これより$n \leq [$26$]$の範囲で$q_n < q_{n+1}$が成り立ち，また，$n \geq [$27$]$の範囲で$q_n > q_{n+1}$が成り立つことがわかる．従って，$q_n$は$n= [$28$]$で最大値$\displaystyle\frac{[$29$][$30$]}{[$31$][$32$][$33$]}$をとる．