行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$に対して
\[ X=-\frac{1}{5}(A-2E),\quad Y=\frac{1}{5}(A+3E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)$XY,\ YX,\ X^2,\ Y^2$を計算せよ．
(2)$A=aX+bY$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

袋の中に$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれたボールが$10$個入っている．次の問いに答えよ．

(1)袋の中から$3$個のボールを同時に取り出すとき，$3$個のボールに書かれた数の和が$8$になる確率を求めよ．
(2)袋から$1$個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを$3$回繰り返すとき，記録された$3$つの数字のうち，ちょうど$2$つが同じ数字になる確率を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)複素数$\alpha, \beta$に対して$\alpha\beta=0$ならば，$\alpha=0$または$\beta=0$であることを示せ．
(2)複素数$\alpha$に対して$\alpha^2$が正の実数ならば，$\alpha$は実数であることを示せ．
(3)複素数$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{2n+1}$（$n$は自然数）に対して，$\alpha_1\alpha_2,\cdots,\alpha_k\alpha_{k+1},\cdots,\alpha_{2n}\alpha_{2n+1}$および$\alpha_{2n+1}\alpha_1$がすべて正の実数であるとする．このとき，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{2n+1}$はすべて実数であることを示せ．

数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は原点を出発して，さいころを$1$回投げるごとに，$2$以下の目が出たときには正の向きに$1$だけ進み，$3$以上の目が出たときには負の向きに$2$だけ進むものとする．

(1)さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にくる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．ただし，[イ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$-4$または$2$になる確率は$\displaystyle\frac{[ウ]}{[エ]}$である．ただし，[エ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=4,\ \mathrm{OB}=5,\ \mathrm{AB}=7$とする．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{OA}$の中点，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点とする．さらに点$\mathrm{R}$は辺$\mathrm{OB}$上にあり$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$である．このとき，
\[ \mathrm{OR} = \frac{[オ]}{[カ]}\mathrm{OB} \]
である．ただし，[カ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

曲線$x^2+y^2=100$（$x \geqq 0$かつ$y \geqq 0$）を$C$とする．点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$は$C$上にあり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致するときは，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{P}$に等しいものとする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 8)$であり，点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は，
\[ (x-[キ])^2+(y-[ク])^2=[ケ],\ [コ] \leqq x \leqq [サ],\ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$C$上を自由に動くとき，点$\mathrm{R}$の動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]}\pi + [タ] \]
である．ただし，$[ソ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

以下の問いに答えよ．

(1)無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$の和は$\displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]}$である．\\
\quad ただし，[ツ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)行列
\[ A=\frac{1}{\sqrt{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \biggr) \]
に対して，
\[ A^n = \biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)\]
となる最小の自然数$n$は[テ]である．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}(2-x^2\sin x)\,dx = [ト]$である．

実数$a$に対して関数$f(a)$を，
\[ f(a) = \int_1^2 \left|\frac{a}{x}-1\right|\, dx \]
と定める．$a$が$1 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$f(a)$の最小値は$[ナ]+[ニ]\sqrt{[ヌ]}$であり，最大値は$[ネ]+[ノ]\log [ハ]$である．ただし，[ヌ]，[ハ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

$p,\ q$を$1$でない自然数とする．このとき，
\[ 2(1-\log_210)\log_5 p + \log_2\frac{2012}{q} = 0 \]
を満たす$p$の値は$[ア]$である

赤球と白球をあわせて$12$個の球が入っている袋がある．この袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき，それらが
同じ色である確率は$\displaystyle\frac{31}{66}$である．袋には白球よりも赤球が多く入っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)袋に赤球は$[イ]$個入っている．
(2)この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，赤球が少なくとも$1$個含まれる確率は$\displaystyle\frac{[ウ]}{[エ]}$である．ただし，$[エ]$はできるだけ小さい自然数で答えることとする．