平面上のベクトル$\overrightarrow{a_n}$，$\overrightarrow{b_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，$\overrightarrow{a_1}=(4,\ 0)$，$\overrightarrow{b_1}=(0,\ 4)$と関係式
\[ \overrightarrow{a_{n+1}}=\frac{3 \overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}}{4},\quad \overrightarrow{b_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{a_n}-3 \overrightarrow{b_n}}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．さらに原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$，$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ．
(4)$S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

$n$は自然数を表すとして，以下の問いに答えよ．

(1)平面を次の条件を満たす$n$個の直線によって分割する．
【どの直線も他のすべての直線と交わり，どの$3$つの直線も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の直線によって作られる領域の個数を$L(n)$とすると，$L(1)=2,\ L(2)=4$は容易にわかる．次の問いに答えよ．

(i) $L(3),\ L(4),\ L(5)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $L(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $L(n)$を求めよ．

(2)平面を次の条件を満たす$n$個の円によって分割する．
【どの円も他のすべての円と$2$点で交わり，どの$3$つの円も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の円によって作られる領域の個数を$D(n)$とすると，$D(1)=2$は容易にわかる．次の問いに答えよ．

(i) $D(2),\ D(3),\ D(4)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $D(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $D(n)$を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，
\[ S=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
とする．$2$次正方行列$N$が$N^2=O,\ SN=NS$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)$a=b$または$N=O$であることを示せ．
(2)$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，
\[ (S+N)^n=S^n+nS^{n-1}N \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，
\[ (S+SN+N)^n=S^n+nS^nN+nS^{n-1}N \]
が成り立つことを示せ．
(4)$N=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，$2$以上の自然数$n$に対して，$(S+SN+N)^n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が条件
\[ S_n=4n-3a_n \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle a_n>\frac{35}{9}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$として計算してよい．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=[\sqrt{n-1}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して
\[ S(n)=\sum_{k=1}^{n^2}a_k \]
とおく．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．
(3)$S(n)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S(n)}{n^3}$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$に対して
\[ X=-\frac{1}{5}(A-2E),\quad Y=\frac{1}{5}(A+3E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)$XY,\ YX,\ X^2,\ Y^2$を計算せよ．
(2)$A=aX+bY$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

自然数$n$に対して，$\displaystyle S_n=\int_0^\pi \sin^n x \, dx$とする．

(1)$S_1$および$S_2$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{S_{n+2}}{S_n}=\frac{n+1}{n+2}$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_nS_{n+1}$を求めよ．

関数$f(x)=x^2-2$に対して，$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$g(a)$とおく．ただし，$a>0$とする．また$x_1=4$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$x_{n+1}=g(x_n)$とおく．次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$x_3$を求めよ．
(4)どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．

自然数$6$は$6=1+2+3$と$2$つ以上の連続する自然数の和として表すことができる．同様に，$15$は$15=4+5+6$と表すことができる．ただし，このような表し方は$1$通りとは限らない．実際，$15$は$15=1+2+3+4+5$とも表すことができる．次の問に答えよ．

(1)$3$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．
(2)$4$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．
(3)$5$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．
(4)自然数$1024$は，$2$つ以上の連続する自然数の和として表すことができないことを証明せよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=[\sqrt{n-1}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して
\[ S(n)=\sum_{k=1}^{n^2}a_k \]
とおく．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．
(3)$S(n)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S(n)}{n^3}$を求めよ．