「自然数」について
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国立 徳島大学 2012年 第4問座標平面上に2点P$(x,\ 2)$，Q$(1-\sqrt{3},\ y)$がある．
(1)原点を中心とする$60^\circ$の回転移動によって点Pが点Qに移るとき，$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x$と$y$は(1)で求めた値とする．点Pを点Qに，点Qを点Pに移す1次変換を表す行列$A$を求めよ．
(3)自然数$n$と(2)で求めた行列$A$に対し
\[ A+2A^2+3A^3+4A^4+\cdots +(2n-1)A^{2n-1}+2nA^{2n} \]
を求めよ．
(1)原点を中心とする$60^\circ$の回転移動によって点Pが点Qに移るとき，$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x$と$y$は(1)で求めた値とする．点Pを点Qに，点Qを点Pに移す1次変換を表す行列$A$を求めよ．
(3)自然数$n$と(2)で求めた行列$A$に対し
\[ A+2A^2+3A^3+4A^4+\cdots +(2n-1)A^{2n-1}+2nA^{2n} \]
を求めよ．
国立 宇都宮大学 2012年 第1問$1$から$n$までの番号をつけた$n$枚のカードがある．次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数で$n \geqq 5$とする．
(1)$n=5$とする．$5$枚のカードから同時に$2$枚を取り出すとき，取り出した番号の和の期待値を求めよ．
(2)$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$k$枚を取り出すとき，取り出した番号の積が偶数である確率を$n$と$k$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 2 \leqq k \leqq \frac{n}{2}$とする．
(3)$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$3$枚を取り出すとき，取り出した番号の和が偶数である確率を求めよ．
(1)$n=5$とする．$5$枚のカードから同時に$2$枚を取り出すとき，取り出した番号の和の期待値を求めよ．
(2)$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$k$枚を取り出すとき，取り出した番号の積が偶数である確率を$n$と$k$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 2 \leqq k \leqq \frac{n}{2}$とする．
(3)$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$3$枚を取り出すとき，取り出した番号の和が偶数である確率を求めよ．
国立 宇都宮大学 2012年 第2問自然数を$2$乗した列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．以下の問いに答えよ．
\begin{align}
& \{1\},\quad \{4,\ 9,\ 16\},\quad \{25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81\},\ \cdots \nonumber \\
& 第1群 \qquad 第2群 \qquad\qquad\qquad 第3群 \nonumber
\end{align}
(1)$625$は第何群の何番目の数か．
(2)第$n$群の最後の数を$n$の式で表せ．
(3)第$n$群の最初の数を$n$の式で表せ．
(4)第$n$群にあるすべての数の和を$n$の式で表せ．
\begin{align}
& \{1\},\quad \{4,\ 9,\ 16\},\quad \{25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81\},\ \cdots \nonumber \\
& 第1群 \qquad 第2群 \qquad\qquad\qquad 第3群 \nonumber
\end{align}
(1)$625$は第何群の何番目の数か．
(2)第$n$群の最後の数を$n$の式で表せ．
(3)第$n$群の最初の数を$n$の式で表せ．
(4)第$n$群にあるすべての数の和を$n$の式で表せ．
国立 旭川医科大学 2012年 第1問正の奇数$p$に対して，$3$つの自然数の組$(x,\ y,\ z)$で，$x^2+4yz=p$を満たすもの全体の集合を$S$とおく．すなわち，
\[ S=\left\{ (x,\ y,\ z) \;\Big|\; x,\ y,\ z \text{は自然数，} x^2+4yz=p \right\} \]
次の問いに答えよ．
(1)$S$が空集合でないための必要十分条件は，$p=4k+1 \ (k \text{は自然数})$と書けることであることを示せ．
(2)$S$の要素の個数が奇数ならば$S$の要素$(x,\ y,\ z)$で$y=z$となるものが存在することを示せ．
\[ S=\left\{ (x,\ y,\ z) \;\Big|\; x,\ y,\ z \text{は自然数，} x^2+4yz=p \right\} \]
次の問いに答えよ．
(1)$S$が空集合でないための必要十分条件は，$p=4k+1 \ (k \text{は自然数})$と書けることであることを示せ．
(2)$S$の要素の個数が奇数ならば$S$の要素$(x,\ y,\ z)$で$y=z$となるものが存在することを示せ．
国立 旭川医科大学 2012年 第3問$a$を正の実数とし，$\displaystyle f_n(x)=\int_0^x e^{-at}\sin nt \, dt \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_n(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{2}$とするとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_n(x)$が最大となる自然数$n$，およびそのときの最大値を求めよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_n(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{2}$とするとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_n(x)$が最大となる自然数$n$，およびそのときの最大値を求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2012年 第1問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えなさい．
(1)$A^2$と$A^3$を求めなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それを数学的帰納法により証明しなさい．
1 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えなさい．
(1)$A^2$と$A^3$を求めなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それを数学的帰納法により証明しなさい．
国立 長岡技術科学大学 2012年 第4問以下の問いに答えなさい．
(1)自然数$m,\ n$に対して，$m$以上$m+n$以下の自然数の和を$m,\ n$の式で表しなさい．
(2)12は，$12=3+4+5$と連続する3つの自然数の和として表すことができる．88を連続する2つ以上の自然数の和として表しなさい．
(1)自然数$m,\ n$に対して，$m$以上$m+n$以下の自然数の和を$m,\ n$の式で表しなさい．
(2)12は，$12=3+4+5$と連続する3つの自然数の和として表すことができる．88を連続する2つ以上の自然数の和として表しなさい．
国立 旭川医科大学 2012年 第4問曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．
(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]
(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]
国立 福井大学 2012年 第1問$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots +\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}$の値が$2^n$に等しいことを示せ．
(2)複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき，$z$および$z^{4n}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cdot \comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+\cdots -\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}$の値が$(-4)^n$に等しいことを示せ．
(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots +\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}$の値が$2^n$に等しいことを示せ．
(2)複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき，$z$および$z^{4n}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cdot \comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+\cdots -\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}$の値が$(-4)^n$に等しいことを示せ．
国立 長崎大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$m$を5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
\[ m!>2^m>m^2 \]
(2)自然数$n$に対する次の和を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \]
(3)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n<\frac{3}{4}$が成り立つことを示せ．
(4)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n>\frac{2}{3}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$m$を5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
\[ m!>2^m>m^2 \]
(2)自然数$n$に対する次の和を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \]
(3)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n<\frac{3}{4}$が成り立つことを示せ．
(4)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n>\frac{2}{3}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．