$a$は0でない定数とする．座標平面上の3点A$(a+2,\ a+1)$，B$(9,\ 0)$，C$(2,\ 1)$について，線分ABと線分ACが垂直のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{3} & -1 \\
1 & \sqrt{3}
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{2} & -\sqrt{2} \\
\sqrt{2} & \sqrt{2}
\end{array} \right)$とする．$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0
\end{array} \right) A^kB^l \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=2^{9-m}$を満たす自然数の組$(k,\ l,\ m)$をすべて求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{P}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$がある．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n+1}$を以下のように順に定める．

線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{P}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$がある．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n+1}$を以下のように順に定める．

線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．すなわち，$[\,x\,]$は整数であり$[\,x\,] \leqq x < [\,x\,]+1$を満たすとする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{5}{3} \right]=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての実数$a$とすべての整数$m$に対し，$[\,a+m\,]=[\,a\,]+m$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=\left[ \frac{2k}{3} \right] \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$と定める．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4
\end{array} \right),\ B=\left(\!\! \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$AB$および$ABA$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$(AB)^nA$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(3)自然数$n$に対して，$(BA)^{n+1}$を求めよ．

$n$を2以上の整数とする．集合$X_n=\{ 1,\ 2,\ \cdots,\ n \}$を2つの空集合ではない部分集合$A_n,\ B_n$に分ける．すなわち，$A_n \cup B_n=X_n,\ A_n \cap B_n = \phi,\ A_n \neq \phi,\ B_n \neq \phi$である．$A_n$に属する自然数の和を$a_n$，$B_n$に属する自然数の和を$b_n$とおく．例えば，$n=5$のとき，$X_5$を$A_5=\{ 1,\ 2,\ 5 \},\ B_5=\{ 3,\ 4 \}$と分ければ，$a_5=8,\ b_5=7$となる．このとき，次の問に答えよ．

(1)$n$が4の倍数のとき，$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ．
(2)$n+1$が4の倍数のときも，$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ．
(3)$n$も$n+1$も4の倍数ではないとき，$a_n=b_n$となるようには$X_n$を分けられないことを示せ．

$n$を自然数とする．$\sqrt{3} \sin n \theta+\cos n \theta=0$を満たす$\theta>0$を小さいものから順に$n$個取り，$\theta_1,\ \theta_2,\ \cdots,\ \theta_n$とする．

(1)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$\theta_k$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \cos \frac{\theta_n}{2}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \cos \frac{\theta_1}{2}+\cos \frac{\theta_2}{2}+\cdots +\cos \frac{\theta_n}{2} \right)$を求めよ．