「自然数」について
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国立 鹿児島大学 2012年 第5問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -2 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$と自然数$n$について，次の各問いに答えよ．
(1)次の等式を満たす$\alpha,\ \beta,\ p,\ q$を求めよ．ただし，$\alpha<\beta$とする．
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
p \\
1
\end{array} \biggr)=\alpha \biggl( \begin{array}{c}
p \\
1
\end{array} \biggr),\quad A \biggl( \begin{array}{c}
q \\
1
\end{array} \biggr) =\beta \biggl( \begin{array}{c}
q \\
1
\end{array} \biggr) \]
(2)(1)で求めた$p$に対して$A^n \biggl( \begin{array}{c}
p \\
1
\end{array} \biggr)$を求めよ．
(3)$A^n$を求めよ．
1 & -2 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$と自然数$n$について，次の各問いに答えよ．
(1)次の等式を満たす$\alpha,\ \beta,\ p,\ q$を求めよ．ただし，$\alpha<\beta$とする．
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
p \\
1
\end{array} \biggr)=\alpha \biggl( \begin{array}{c}
p \\
1
\end{array} \biggr),\quad A \biggl( \begin{array}{c}
q \\
1
\end{array} \biggr) =\beta \biggl( \begin{array}{c}
q \\
1
\end{array} \biggr) \]
(2)(1)で求めた$p$に対して$A^n \biggl( \begin{array}{c}
p \\
1
\end{array} \biggr)$を求めよ．
(3)$A^n$を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第2問$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第1問$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第5問$A=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{3} & -1 \\
1 & \sqrt{3}
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
0 & -2 \\
2 & 0
\end{array} \right)$とする．
(1)$A^{12}$を求めよ．
(2)$A^kB^l \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2^{9-m} \\
0
\end{array} \right)$を満たす自然数の組$(k,\ l,\ m)$をすべて求めよ．
\sqrt{3} & -1 \\
1 & \sqrt{3}
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
0 & -2 \\
2 & 0
\end{array} \right)$とする．
(1)$A^{12}$を求めよ．
(2)$A^kB^l \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2^{9-m} \\
0
\end{array} \right)$を満たす自然数の組$(k,\ l,\ m)$をすべて求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第3問$n$を自然数とし，縦が3，横が$2n$の長方形の盤上全体を，隣り合う2辺の長さが1と2の長方形のタイルですき間なく敷きつめるとき，その敷きつめ方の場合の数を$a_n$とする．そのうち左端に3つのタイルが接している場合の敷きつめ方の場合の数を$x_n$とし，それ以外の敷きつめ方の場合の数を$y_n$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n,\ x_{n+1},\ y_{n+1}$を$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(3)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表し，さらに$a_4$の値を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n,\ x_{n+1},\ y_{n+1}$を$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(3)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表し，さらに$a_4$の値を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第4問$A=\biggl( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(2)数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を
\begin{align}
& \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr), \nonumber \\
& \biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{align}
で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(2)数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を
\begin{align}
& \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr), \nonumber \\
& \biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{align}
で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
国立 香川大学 2012年 第1問$A=\biggl( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(2)数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を
\begin{align}
& \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr), \nonumber \\
& \biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{align}
で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(2)数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を
\begin{align}
& \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr), \nonumber \\
& \biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{align}
で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
国立 群馬大学 2012年 第2問$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第2問$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第1問実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．