$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．

$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．

$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ$1$つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を$0$でない実数とする．$x$についての$3$次方程式$x^3-a^3=0$の$2$つの虚数解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin |2x| \, dx$を求めよ．
(3)連続する$3$つの自然数$a,\ b,\ c$があり，それらは$a^2+b^2=c^2,\ a<b<c$をみたすとする．このような$a,\ b,\ c$はただ$1$組しかないことを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}_0(1,\ 0)$がある．ある$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1(p,\ p)$，$\mathrm{Q}_1(p,\ 0)$を定め，さらに，自然数$n$について点$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{Q}_{n+1}$を次のように定める．
\begin{itemize}
点$\mathrm{Q}_n$を通り直線$\mathrm{Q}_0 \mathrm{P}_1$と平行な直線と，直線$\mathrm{OP}_0$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
点$\mathrm{P}_{n+1}$を通り$y$軸と平行な直線と，$x$軸の交点を$\mathrm{Q}_{n+1}$とする．
\end{itemize}
また，$\triangle \mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の面積を$S_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S_1$を$p$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}_{n-1}$の$x$座標を$q$とするとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S_n$を$p,\ n$を用いて表せ．
(4)$n$を定数として，$p$を$0<p<1$の範囲で動かすとき，$S_n$を最大にする$p$とそのときの$S_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$S_n$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_n$を求めよ．必要であれば，自然対数の底$e$について$\displaystyle \lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$が成り立つことを用いてよい．

（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$k,\ n$は不等式$k \leqq n$を満たす自然数とする．このとき，
\[ 2^{k-1}n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) \leqq n^k k! \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n<3$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{9}{19} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．

$n$を自然数とする．1つの袋に白球が$n$個と赤球が2個，合わせて$n+2$個の球が入っている．この袋から，$n+1$個の球を1個ずつ取り出し，左から1列に順に並べる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)並べた列に赤球が2個入っている確率を，$n$を用いて表せ．
(2)2個の赤球の間にある白球の個数を$k$とする．ただし，並べた列に赤球が2個入っていない場合は，$k=0$とする．このとき，$k$の期待値が1以上となる最小の$n$の値を求めよ．

$n$を自然数とする．1つの袋に白球が$n$個と赤球が2個，合わせて$n+2$個の球が入っている．この袋から，$n+1$個の球を1個ずつ取り出し，左から1列に順に並べる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)並べた列に赤球が2個入っている確率を，$n$を用いて表せ．
(2)2個の赤球の間にある白球の個数を$k$とする．ただし，並べた列に赤球が2個入っていない場合は，$k=0$とする．このとき，$k$の期待値が1以上となる最小の$n$の値を求めよ．

$N$を$2$以上の自然数とする．$1$から$N$までの番号を$1$つずつ書いた$N$枚のカードから$2$枚を同時に取り出し，そのうち大きい番号を$X$とし，小さい番号を$Y$とする．次の問に答えよ．

(1)$i$を$1$以上$N$以下の自然数とするとき，$X=i$となる確率$p_i$および$Y=i$となる確率$q_i$を求めよ．
(2)$X$の期待値$E_1$および$Y$の期待値$E_2$を求めよ．

次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)(2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき，$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ．