$a,\ b$は定数で$a \neq 0$とする．自然数$n$に対して，整式$(ax+b)^n$を$x^2+1$で割った余りを$a_nx+b_n$と表し，
\[ I_n=\int_0^1 \frac{(ax+b)^n}{x^2+1} \, dx \]
とおく．

(1)行列$A$は，すべての$n$に対して，
\[ \biggl( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \biggr) \]
を満たす．行列$A$を求めよ．
(2)(1)で求めた行列$A$に対し，
\[ A^2+pA+qE=O \]
となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(3)(2)で求めた$p,\ q$に対し，定積分
\[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \]
を求めよ．
(4)$a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ．

$a$と$b$は異なる整数で，ともに$0$以上$9$以下とする．有理数$x$が次のように循環小数で表されているとする．
\[ x=0.abababab \cdots \]
次の問いに答えよ．

(1)$99x$は自然数であることを示せ．
(2)$33x$が自然数となるような$x$を$1$つ求めよ．
(3)$11x$が自然数となるときの$a+b$の値を求めよ．

$n$を自然数とし，3つの不等式$\displaystyle y \leqq -\frac{x}{n}+2,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$をすべてみたす整数の組$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．このとき，$S_n=510$となる$n$を求めよ．

サイコロを$4$回投げて，$1$，$2$，$3$，$4$回目に出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，行列$A$を$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
-c & -d
\end{array} \biggr)$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$A^2-(a-d)A-(ad-bc)E=O$を示せ．ただし，$E,\ O$はそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$A^2=O$が成り立つための必要十分条件は，$ad=bc$および$a=d$が成り立つことである．これを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とする．$A^n=O$となる確率を求めよ．

\begin{spacing}{2}
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle -\frac{1}{4} & \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4} \\
\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} & \displaystyle -\frac{1}{4}
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
\end{spacing}


(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)$n$を自然数とし，$\biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A^n \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$とするとき，$\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \biggr)$を求めよ．
(3)$xy$平面上の点P$_n$の座標を，(2)で定めた$(x_n,\ y_n)$とする．原点Oを中心とし，OP$_n$を半径とする円の面積を$S_n$とするとき，$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ．
(4)(3)で定めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2)関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3)$f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]

袋の中に$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれたボールが$10$個入っている．次の問いに答えよ．

(1)袋の中から$3$個のボールを同時に取り出すとき，$3$個のボールに書かれた数の和が$8$になる確率を求めよ．
(2)袋から$1$個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを$3$回繰り返すとき，記録された$3$つの数字のうち，ちょうど$2$つが同じ数字になる確率を求めよ．

袋の中に$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ書かれたボールが$n$個入っている．次の問いに答えよ．ただし$n \geqq 3$とする．

(1)袋の中から$3$個のボールを同時に取り出すとき，$3$個のボールに書かれた数の和が$8$になる確率を求めよ．
(2)袋から$1$個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを$3$回繰り返すとき，記録された$3$つの数字のうち，ちょうど$2$つが同じ数字になる確率を求めよ．
(3)$(2)$で求めた確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる$n$の範囲を求めよ．

正の数からなる数列$\{a_n\}$に対し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．すべての自然数$n$に対して，$\displaystyle \frac{a_n+3}{2}=\sqrt{3S_n}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ．
(3)$n$が自然数であるとき，数学的帰納法を用いて，$S_n=3n^2$が成り立つことを証明せよ．

$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．