曲線$C:y=\log x \ (x>0)$を考える．自然数$n$に対して，曲線$C$上に点P$(e^n,\ n)$，Q$(e^{2n},\ 2n)$をとり，$x$軸上に点A$(e^n,\ 0)$，B$(e^{2n},\ 0)$をとる．四角形APQBを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(n)$とする．また，線分PQと曲線$C$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$S(n)$とする．

(1)$V(n)$を$n$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S(n)}{V(n)}$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は次の条件をみたすものとする．
\begin{eqnarray}
a+d=1,\ & & A^2-A-2E=O \nonumber \\
& & (\text{ただし，}E \text{は単位行列で，}O \text{は零行列である．}) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問いに答えよ．

(1)次の関係をみたす実数$x,\ y$は$x=y=0$に限ることを示せ．
\[ xA+yE=O \]
(2)自然数$n$に対し，$A^n$はある実数$x_n,\ y_n$を用いて，$A^n=x_n A+y_n E$の形で表せることを示し，数列$\{x_n-y_n\},\ \{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおく．$p_n+s_n$を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x+2} \ (x>-2)$を考える．曲線$C$上の点P$_1 \displaystyle (0,\ \frac{1}{2})$における接線を$\ell_1$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点をQ$_1$，点Q$_1$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_2$とおく．以下同様に，自然数$n \ (n \geqq 2)$に対して，点P$_n$における接線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$x$軸との交点をQ$_n$，点Q$_n$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_{n+1}$とおく．

(1)$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\ell_n$，$x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{rr}
-2 & 6 \\
0 & 3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & \displaystyle \frac{6}{5} \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$P^{-1}A^nP=\left( \begin{array}{cc}
(-2)^n & 0 \\
0 & 3^n
\end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を関係式$a_1=1,\ a_{n+1}=-2a_n+6 \cdot 3^{n-1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．このとき，すべての自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
3^n
\end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定義する．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=5, b_1=3, \\
\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
また，自然数$n$について$c_n=a_n^2-b_n^2$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とするとき，自然数$\ell$について
\[ a_{k+\ell}=a_ka_\ell + b_kb_\ell, b_{k+\ell}=b_ka_\ell+a_kb_\ell \]
が成立することを，$\ell$に関する数学的帰納法によって示せ．
(3)$n > \ell$となる自然数$n,\ \ell$について
\[ b_{n+\ell}-c_\ell b_{n-\ell}=2a_nb_\ell \]
が成立することを示せ．
(4)$2$以上の自然数$n$について
\[ a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2} \]
が成立することを示せ．

$\ell,\ n,\ d$を自然数とする．このとき自然数の積$(2\ell +1)nd$は，ある自然数$a$と$2$以上の整数$m$を用いて
\[ (2 \ell+1)nd=\sum_{i=1}^m \{a+(i-1)d \} \]
と表せることを証明せよ．

$n$を自然数とする．袋の中に$n$枚のカードが入っていて，それらに$1$から$n$までの自然数がひとつずつ書かれている．袋からカードを$1$枚取り出し，書かれている数を記録し，カードを袋に戻すという試行を$3$回繰り返す．$3$回の試行で記録された数の最大値を$X$とするとき，$X$の期待値を求めよ．

初項が$a_1=-35$である数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．すなわち，
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19$，公差は4であるとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．
(2)自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第24項までの和を求めよ．

初項が$a_1=-35$である数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．すなわち，
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19$，公差は4であるとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．
(2)自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第24項までの和を求めよ．

関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．