自然数$n$に対して関数$y=2nx-x^2$のグラフと$x$軸で囲まれた領域（境界線を含む）$R_n$を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)領域$R_n$に含まれる格子点（$x$座標と$y$座標がともに整数である点）の数$S_n$を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2n,\ 0)$，および関数$y$の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（境界線を含む）に含まれる格子点の数$T_n$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n}$を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して$\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．
(2)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}<\log (1+x)<x$が成り立つことを示せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x+\log (1+x)} \, dx$を求めよ．

$N$を$3$以上の自然数とする．

$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出し，そのカードを袋に戻さず次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．
また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．
$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．
次の問いに答えよ．

(1)$p_3,\ q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(2)$p_n$と$q_n$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]

次の各問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]

$s>0$，$t>0$とする．正の数からなる$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は初項と第$2$項が$a_1=b_1=s$，$a_2=b_2=t$であり，すべての自然数$n$に対して
\[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \]
をみたすとする．次に答えよ．

(1)$a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(5)$t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ．

$k$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{n^2+7}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$\sqrt{n^2+7^2}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めよ．
(3)$\sqrt{n^2+7^k}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$または$7$で割り切れる$100$以下の自然数の和を求めよ．
(2)座標平面上で，不等式$(2x^2-y)(x^2+y^2-3) \leqq 0$が表す領域を図示せよ．

(3)$\left\{ \begin{array}{l}
2 \sin \alpha+2 \cos \beta=1 \\
2 \cos \alpha-2 \sin \beta=\sqrt{3}
\end{array} \right.$とする．このとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$かつ$0 \leqq \beta<2\pi$とする．
(4)$1 \leqq x \leqq 25$，$26x+7y=2$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．

自然数$n$のすべての正の約数の和を表す関数を$f(n)$，正の約数の個数を表す関数を$g(n)$とおく．ただし，$1$および$n$も$n$の正の約数であり$f(1)=g(1)=1$とする．例えば，$n=12$のとき，$n$の正の約数は$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$なので
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である．以下の問いに答えよ．

(1)$f(24)$，$g(24)$の値を求めよ．
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は，ある自然数の平方であることを証明せよ．



以下の問題では，$n$は偶数とする．


\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし，$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく．このとき，$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ．
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする．このとき，$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．

$n$を自然数とする．下図のように，$3$本の平行な道路$\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$があり，$\ell_1,\ \ell_2$をつなぐ縦の道と，$\ell_2,\ \ell_3$をつなぐ縦の道がそれぞれ$n$本ずつ，交互に配置されているとする．
（図は省略）
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$，$b_n$，$c_n$とする．


\mon[（規則）] $\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$は一方通行であり，西方向には進むことができない．また，一度通った縦の道を再び通ることもできない．

次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ b_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ．
(4)$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$f_{n+2}$を$f_n$，$f_{n+1}$を用いて表せ．また，それを用いて$a_7$を求めよ．