行列$A$を$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．

(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

$x$を実数とし，$A=\left(
\begin{array}{cc}
4 & -1 \\
2 & 1
\end{array}
\right),\ E=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right),\ P=A-xE$とおく．$P$は$P^2=P$をみたすとする．以下の問に答えよ．

(1)$x$の値を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．
\[ A^n = a_n P + b_n E \]
をみたす$a_n,\ b_n$を$n$を用いて表せ．

次の設問に答えよ．

(1)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{n^2+6n+8}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+4}$を満たすような定数$A,\ B$の値を求めよ．また，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+6n+8}$の和を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3,\ \mathrm{AC}=2$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{M}$が平面$\alpha$上にあるとき，$\mathrm{M}$の座標と球面の半径$r$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，$4^{2n-1}+3^{n+1}$は13の倍数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{5-\sqrt{19}}$の整数部分を$\alpha$，小数部分を$\beta$とするとき$\alpha,\ \beta$を求めよ．また$\alpha^2-18 \beta^2$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)正の実数$x,\ y$に対して
\[ \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \geqq 2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$n$個の正の実数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ (a_1 +\cdots+a_n) \left( \frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n} \right) \geqq n^2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．

$a_1$を$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_1 < \frac{\pi}{4}$を満たす数とし，$\{a_n\}$を
\[ a_{n+1} = 1-\sin \;a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は，$\displaystyle \frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{4}$の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ．
(2)$n$を自然数とするとき，不等式$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_n < \frac{\pi}{4}$を示せ．
(3)(1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が成り立つことを示せ．

$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \log_{10} \left(\frac{2}{3}\right),\ \log_{10} \left( \frac{1}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \geqq \frac{1}{10},\ \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす最大の自然数$m,\ n$を求めよ．
(3)連立不等式$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^x \left( \frac{1}{2} \right)^y \geqq \frac{1}{10},\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を座標平面に図示せよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす自然数$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{R}(a,\ c)$，$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$，$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) \]
(3)自然数$n$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc}
1 & b \\
1 & -c
\end{array} \biggr) \]
で定める．このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc}
14 & 13 \\
13 & 14
\end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ．

$a$を実数とし，$f(x)=x^3-3x^2+3x$とおく．数列$\{x_n\}$を
\[ x_1=a,\ x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について$x_n=a$となるとき，$a$を求めよ．
(2)$a<1$のとき，$x_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを証明せよ．
(3)$0<a<1$のとき，$x_n<x_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを証明せよ．

$n$は自然数とし，点Pは次の規則にしたがって座標平面上を動くとする．\\
規則:\\
\quad (A) \ Pは，はじめに点$(1,\ 2)$にある．\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し，3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する．\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．

(1)$n=3$のとき，出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)$n=3$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)$n=6$のとき，Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．