以下の各問いに答えよ．

(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．

(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．

(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．

(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．

$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．以下の問いに答えよ．

(1)${18}^{20}$の桁数を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \left( \frac{4}{15} \right)^{n}$は小数で表すと，小数第$1$位から小数第$9$位まですべて$0$で，かつ小数第$10$位が$0$でない数字になるとする．このとき，$n$をすべて求めよ．

$n$を$2$以上の整数とする．自然数（$1$以上の整数）の$n$乗になる数を$n$乗数と呼ぶことにする．以下の問いに答えよ．

(1)連続する$2$個の自然数の積は$n$乗数でないことを示せ．
(2)連続する$n$個の自然数の積は$n$乗数でないことを示せ．

次の2つの条件$\maru{1}, \maru{2}$をみたす自然数$n$について考える．\\
\quad \maru{1} $n$は素数ではない．\\
\quad \maru{2} $l,\ m$を1でも$n$でもない$n$の正の約数とすると，必ず
\[ |l-m| \leqq 2 \]
\qquad である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n$が偶数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が7の倍数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(3)$2 \leqq n \leqq 1000$の範囲で，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．

実数$a$と自然数$n$に対して，$x$の方程式
\[ a(x^2+|x+1|+n-1)=\sqrt{n}(x+1) \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この方程式が実数解を持つような$a$の範囲を，$n$を用いて表せ．
(2)この方程式が，すべての自然数$n$に対して実数解を持つような$a$の範囲を求めよ．

袋A，袋Bのそれぞれに，1から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．

(1)$N=4$とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．4回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．

袋$\mathrm{A}$，袋$\mathrm{B}$のそれぞれに，$1$から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．

(1)$N=4$とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．$4$回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．

5次式$f(x) = x^5+px^4+qx^3+rx^2+sx+t \quad (p,\ q,\ r,\ s,\ t \text{は実数})$について考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)数列$f(0),\ f(1),\ f(2),\ f(3),\ f(4)$が等差数列であることと，
\[ f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + l x+m \quad (l,\ m \text{は実数}) \]
と書けることは互いに同値であることを示せ．
(2)$f(x)$は(1)の条件をみたすものとする．$\alpha$を実数，$k$を3以上の自然数とする．$k$項からなる数列
\[ f(\alpha),\ f(\alpha+1),\ f(\alpha+2),\ \cdots ,\ f(\alpha+k-1) \]
が等差数列となるような$\alpha,\ k$の組をすべて求めよ．

次の$2$つの条件$\maru{1}, \maru{2}$をみたす自然数$n$について考える．\\
\quad \maru{1} $n$は素数ではない．\\
\quad \maru{2} $l,\ m$を$1$でも$n$でもない$n$の正の約数とすると，必ず
\[ |l-m| \leqq 2 \]
\qquad である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n$が偶数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が$7$の倍数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(3)$2 \leqq n \leqq 1000$の範囲で，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．

行列$A$を$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．

(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．