次の$[　]$にあてはまる数または数式を記入せよ．

(1)$a,\ b$は定数で，$x$についての整式$x^3+ax+b$は${(x+1)}^2$で割り切れるとする．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．
(2)$5$個の自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5)$で，
\[ a_1=1,\quad a_n+1 \leqq a_{n+1} \leqq a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ 4) \]
を満たすものは全部で$[　]$組ある．
(3)$3$次関数$f(x)$は$x=1$と$x=2$で極値をとり，曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{3x}{2 \sqrt{x^2+1}}+1$は点$(0,\ 1)$において共通の接線を持つとする．このとき，$f(x)=[　]$である．
(4)ある花の$1$個の球根が$1$年後に$3$個，$2$個，$1$個，$0$個（消滅）になる確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{3}{10}$，$\displaystyle \frac{2}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{10}$であるとする．$1$個の球根が$2$年後に$2$個になっている確率は$[　]$である．

次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$10$項までの和が$-8$，初項から第$21$項までの和が$14$である．この数列の初項$a_1$は$[ア]$で，公差は$[イ]$である．
(2)$2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=[ウ]$である．

(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[エ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=[オ]$である．
(5)正の数$k$と角$\theta$に対して，$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$[カ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき，$\cos C$の値は$[キ]$である．
(7)整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり，$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき，$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると，余りは$[ク]$である．
(8)座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある．これら$4$点が同一平面上にあり，かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは，$(x,\ y,\ z)=[ケ]$のときである．

自然数を$1$から順に並べ，第$n$群が$3^{n-1}$個の自然数を含むように分割する．例えば，第$1$群は$\{1\}$であり，第$2$群は$\{2,\ 3,\ 4\}$である．次の問いに答えよ．
\[ \{1\},\quad \{2,\ 3,\ 4\},\quad \{5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13\},\quad \cdots \]

(1)第$n$群の最初の数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれるすべての自然数の和を求めよ．
(3)$6^{20}$は第何番目の群に含まれるか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

実数$a,\ b,\ \alpha$を定数とし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{d_n}=(\cos n \alpha,\ \sin n \alpha) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を座標平面上のベクトルとする．ベクトル$\overrightarrow{p_n}$を，
\[ \overrightarrow{p_1}=\overrightarrow{d_1},\quad \overrightarrow{p_{n+1}}=a \overrightarrow{p_n}+b \overrightarrow{d_{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{d_2}$のとき次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対し，$\overrightarrow{p_n}=\overrightarrow{d_n}$となることを示せ．

$a,\ b$をいずれも正の数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$を正の数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ a^{x+1}+b^{x+1} \geqq ab^x+a^xb \]
(2)$n$を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ \left( \frac{a+b}{2} \right)^n \leqq \frac{a^n+b^n}{2} \]
(3)$a+b \sqrt{2}=4$のとき，$a^4+4b^4$の最小値を求めよ．

定数$a_1<a_2<a_3< \cdots$に対して，連続関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$が$f_1(x)=|x-a_1|$，$f_{n+1}(x)=f_n(x)+|x-a_{n+1|}$によって定義されている．

(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$f_2(x)$の最小値を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3$のとき，$f_3(x)$の最小値を求めよ．
(3)$n$が$2$以上の自然数であるとき，$f_n(x)$の最小値を求めよ．

点$\mathrm{P}$は数直線上を動くものとする．$1$個のさいころを投げて，奇数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，偶数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$2$だけ進む．$n$を自然数とする．さいころを続けて投げて，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離が$n$以上になったら，そこでさいころを投げるのをやめるものとする．このときに，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離がちょうど$n$である確率を$a_n$とする．また，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表せ．
(3)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(4)$b_n,\ a_n$を求めよ．

$p,\ q$は実数で，$p \neq 0$を満たすものとする．
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
p & p-1 \\
-p & 1-p
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1-p & 1-p \\
p & p
\end{array} \right),\quad C=\left( \begin{array}{cc}
q & q \\
p & p
\end{array} \right) \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$A^2=A,\ B^2=B$が成り立つことを示せ．
(2)$AC=CA$であるための必要十分条件は，$q=1-p$，すなわち$C=B$であることを示せ．
(3)$x,\ y$を実数，$n$を自然数とするとき，$(xA+yB)^n=x^nA+y^nB$が成り立つことを示せ．

$\displaystyle y=x^2-4x+5+\frac{1}{x^2-4x+5}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle \frac{3}{2} \leqq x \leqq 3$とする．

(1)$y$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(2)$t=x^2-4x+5$とおくとき，$\displaystyle z=t^3-6t^2+12t-12+\frac{12}{t}-\frac{6}{t^2}+\frac{1}{t^3}$を$y$を用いて表せ．
(3)$z$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$K(\log_{64}M+\log_{64}m-\log_{64}N-\log_{64}n)=1$をみたす自然数$K$の値を求めよ．