以下の各問いに答えなさい．

(1)以下の図において$\overline{A \cap B}$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(2)$A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{3y \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$のとき，$A \cap B$の要素をすべて答えなさい．
(3)命題「$x^2-1=0 \Longrightarrow x=1$または$x=-1$」の対偶を答えなさい．
(4)次の表中$①$～$⑤$（ \quad ）内に，命題「$p \Longrightarrow q$」が成立するように，次の（ア）～（ケ）から適切なものを \underline{すべて} 選び記号で答えなさい．

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$p$ & $q$ \\ \hline
犬である． & $①$（ \qquad ） \\ \hline
宜野湾市である． & $②$（ \qquad ） \\ \hline
$x=5$ & $③$（ \qquad ） \\ \hline
$④$ （ \qquad ） & ほ乳類である． \\ \hline
$⑤$ （ \qquad ） & $x=-2$または$x=3$ \\ \hline
\end{tabular}

\begin{screen}
（ア） $x$は偶数である． \quad （イ） $x$は$2$の倍数である． \quad （ウ） $0<x<10$ \\
（エ） 動物である． \quad （オ） 沖縄県である． \quad （カ） 人間である． \\
（キ） $|x| \geqq 5$ \quad （ク） $x^2-x-6=0$ \quad （ケ） $x^2-x+6=0$
\end{screen}
(5)$x+y=2$ならば$x \leqq 1$または$y \leqq 1$であることを背理法によって証明しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$x$についての不等式$\displaystyle \frac{2x-a}{3}<\frac{x-3}{2}$をみたす最大の整数が$3$となるような実数の定数$a$がとり得る値の範囲を次の$①$～$⑤$から選ぶと$[ア]$である．
\[ ① 6<a \quad ② 6 \leqq a \quad ③ 6<a<\frac{13}{2} \quad ④ 6 \leqq a<\frac{13}{2} \quad ⑤ 6<a \leqq \frac{13}{2} \]
(2)$1000$以下の自然数で，$3$または$5$で割りきれる数は$[イ][ウ][エ]$個であり，そのうち偶数でないものは$[オ][カ][キ]$個ある．
(3)$2$つの方程式$x^2-2ax+2a^2+a-2=0$と$x^2+(2a+2)x-a+1=0$がともに実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ク] \leqq a \leqq [ケ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=4 \sin x+3 \cos x$の最小値は$[コ]$であり，$y$の最大値を与える$x$の値を$\theta$とすると，$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]}$である．
(5)$x$の関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^1 xtf(t) \, dt+2$を満たすとき，$\displaystyle f(x)=\frac{[ソ]}{[タ]}x+[チ]$である．

$0$，$1$，$2$，$3$，$4$の数字が$1$つずつ書かれたカードが$2$枚ずつ合計$10$枚ある．この中から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問に答えなさい．

(1)取り出したカードを並べて$3$桁の自然数をつくるとき，$213$以下となるものは$[ル][レ]$個ある．

(2)取り出したカードの中に$0$のカードが含まれている確率は$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワ][ヲ]}$である．

(3)取り出したカードの数字がいずれも$3$以下である確率は$\displaystyle \frac{[ガ]}{[ギ][グ]}$である．

(4)取り出したカードの数字の最大値が$3$である確率は$\displaystyle \frac{[ゲ]}{[ゴ][ザ]}$である．

座標平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．いま，$4$つの格子点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b+4)$，$\mathrm{C}(0,\ b+4)$を考える．ただし，$a$と$b$は互いに素な自然数とする．

(1)線分$\mathrm{OA}$上には，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外の格子点は存在しないことを示せ．
(2)四角形$\mathrm{OABC}$の$4$辺上に格子点はいくつあるか．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の内部（辺，頂点は含まない）に格子点はいくつあるか．

次の問に答えよ．

(1)$2$つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が$n$である確率を$P_n$とする．自然数$n (2 \leqq n \leqq 12)$に対して
\[ P_n=\frac{[ア]-|n-[イ]|}{[ウ]} \]
である．
(2)整数$p,\ q$に対して，多項式
\[ f(x)=2x^4+(p+2q)x^3+(pq+4)x^2+(2p+2)x+p \]
を考える．$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$がすべて素数のとき，$p=[エ]$，$q=[オ]$である．

複素数$z=1+2 \sqrt{6} \, i$と自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，複素数$z^n$を実数$a_n,\ b_n$を用いて
\[ z^n=a_n+b_n i \]
と表す．次の問に答えよ．

(1)${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であることを示せ．
(2)すべての$n$について$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$が成り立つ定数$p,\ q$を求めよ．
(3)どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ．
(4)$z^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は実数でないことを示せ．

自然数の組$(x,\ y,\ z)$が等式$x^2+y^2=z^2$を満たすとする．

(1)すべての自然数$n$について，$n^2$を$4$で割ったときの余りは$0$か$1$のいずれかであることを示せ．
(2)$x$と$y$の少なくとも一方が偶数であることを示せ．
(3)$x$が偶数，$y$が奇数であるとする．このとき，$x$が$4$の倍数であることを示せ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & -3 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とし，$n$は自然数とする．

(1)$A$の$n$乗$A^n$を求めよ．
(2)行列の積$AA^2A^3 \cdots A^n$を求めよ．

弓道部の$\mathrm{A}$君が矢を射るとき，矢が的に命中する確率を$a (0<a<1)$とする．$n$を自然数とし，$m$を$0 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$\mathrm{A}$君が矢を$n$回射るとき，ちょうど$m$回命中する確率を$p(m,\ n)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$p(1,\ 3)$を$a$の式で表せ．
(2)$p(7,\ 9)$を$a$の式で表せ．
(3)ある自然数$x,\ y (x \leqq y)$について$p(x-1,\ y)=p(x,\ y)$であるとき，$a$の値を$x,\ y$の式で表せ．

次の各問に答えよ．

(1)$504$の正の約数はいくつあるか求めよ．$1$と$504$自身も正の約数であることに注意せよ．
(2)$504$と自然数$x$との最大公約数を$g$，最小公倍数を$l$とする．$504$の正の約数の個数を$n$としたとき，$g$の正の約数の個数は$\displaystyle \frac{n}{3}$，$l$の正の約数の個数は$\displaystyle \frac{9}{2}n$であった．$x$の素因数が$2,\ 3,\ 5,\ 7$であるとき，$g,\ l,\ x$の値を求めよ．