$2$次方程式$x^2+(\log_2 n)x+\log_3n=0$が実数解をもたない自然数$n$をすべて求めよ．ただし，$\log_23=1.58$，$\log_25=2.32$とする．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$30$以下の自然数の集合を全体集合$U$とし，$U$の部分集合で$3$の倍数の集合を$A$，$U$の部分集合で$4$の倍数の集合を$B$とする．このとき，要素を書き並べる方法で表すと，$A \cap B=[$1$]$，$\overline{A} \cap B=[$2$]$である．
(2)$3$個の数字$0,\ 1,\ 2$を，重複を許して並べてできる$5$桁の整数は$[$3$]$個ある．そのうち，$0,\ 1,\ 2$の$3$個の数字がすべて使われている整数は$[$4$]$個ある．
(3)関数$y=\sin x \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$の最小値は$[$5$]$であり，関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{2}{3} \pi \right) (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値は$[$6$]$である．
(4)円$(x-a)^2+y^2=4$と直線$\displaystyle y=x-\frac{a}{2}$が接するとき，定数$a$の値は$a=[$7$]$または$a=[$8$]$である．
(5)不等式$\displaystyle 9^{x+\frac{1}{2}}-10 \cdot 3^x+3 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．
(6)方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^3+mx+n=0$の解の$1$つが$-1-\sqrt{3}i$のとき，実数$m,\ n$の値は$m=[$10$]$，$n=[$11$]$である．

次の問に答えよ．

(1)$n$を自然数とする．$3^n+5^n=8^n$となるのは$n=1$のときだけであることを示せ．
(2)下の図のような道のある町を考える．$\mathrm{A}$を出発し，$\mathrm{B}$または$\mathrm{C}$を通って，$\mathrm{D}$まで行く場合の最短経路は何通りあるか．
（図は省略）

$n$を$3$以上の自然数とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$n$角形の面積を$a_n$，外接する正$n$角形の面積を$b_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n$を求めよ．
(2)$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}<\frac{4}{3}$となる最小の$n$を求めよ．


\mon[補足：] 円に内接する正$n$角形とは，円周を$n$等分して隣り合う点を線分で結んでできる正$n$角形をいう．円に外接する正$n$角形とは，円周を$n$等分した各点において円の接線をひき，隣り合う点における$2$つの接線の交点を頂点とする正$n$角形をいう．

$n$を自然数とする．次の問に答えよ．

(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=2^n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle a_k=\frac{1}{k!} (0 \leqq k \leqq n)$に対し，$\displaystyle \sum_{k=0}^n a_ka_{n-k}$を求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の命題$(ⅰ)$～$\tokeijyu$の真偽を書きなさい．

(i) 自然数ならば偶数である．
(ii) 食べ物ならば果物である．
(iii) 人間でないならば動物ではない．
\mon[$\tokeishi$] 整数ならば実数である．
\mon[$\tokeigo$] $|2x^2-5x-3|>0$ならば$x \neq 3$である．
\mon[$\tokeiroku$] $x^2=9$ならば$x=3$である．
\mon[$\tokeishichi$] $2$の倍数ならば$4$の倍数である．
\mon[$\tokeihachi$] $x+y>0$ならば$x>0$かつ$y>0$である．
\mon[$\tokeikyu$] $A \cap B=\phi$ならば$A \neq B$である．
\mon[$\tokeijyu$] $A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{2y+2 \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$ならば$A \subset B$である．

(2)以下の図において$A \cup B$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(3)$2x^2-x-1=0$の必要条件を次の$(ⅰ)$～$\tokeishi$からすべて選び，解答欄に記号で答えなさい．

(i) $x<0$
(ii) $x$は素数である．
(iii) $|x| \leqq 1$
\mon[$\tokeishi$] $x$は実数である．

(4)命題「$(x-1)^2=0$ならば$x=-1$または$x=1$」の逆，裏，対偶を解答欄に書きなさい．またこの命題の真偽を書き，偽のときは反例を挙げなさい．

自然数$m,\ n$は，$2 \leqq m<n$を満たすとする．

(1)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{n+1-m}{m(n+1)}<\frac{1}{m^2}+\frac{1}{(m+1)^2}+\cdots +\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}<\frac{n+1-m}{n(m-1)} \]
(2)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{3}{2} \leqq \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \right) \leqq 2 \]
(3)$(2)$の不等式をより精密にした，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{29}{18} \leqq \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \right) \leqq \frac{61}{36} \]

一般項が，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．

このとき，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される．
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと，$\alpha+\beta=[ア]$，$\alpha\beta=[イウ]$となる．
ここで
$a_1=[エ]$，$a_2=[オ]$ $\cdots\cdots①$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である．
このとき
\[ \begin{array}{rcl}
a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\
\displaystyle\phantom{\frac{[　]}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+[カ]}-\beta^{n+[キ]} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\}
\end{array} \]
となり
\[ a_{n+2}=[ク] a_{n+1}+[ケ]a_n \cdots\cdots② \]
が成り立つ．よって$①$，$②$より，$a_3=[コ]$，$a_4=[サ]$，$\cdots$となり，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された．

$n$を$2$以上の自然数とし，$n$人でじゃんけんをして勝敗が決まるまでじゃんけんをくり返すとする．次の問に答えよ．

(1)$n=2$のとき，$1$回目のじゃんけんで勝敗が決まる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$，$2$回目のじゃんけんで勝敗が決まる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(2)$n=3$のとき，$4$回目のじゃんけんで$1$人が勝って勝敗が決まる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$である．また，$4$回目のじゃんけんで勝敗が決まる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$である．
(3)$1$回目のじゃんけんで勝敗が決まる確率よりも，決まらない確率の方が大きくなる場合の$n$の最小値は$[　]$である．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[　]$または$[　]$（ただし$[　]<[　]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[　]$または$[][]$である．