次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．
(2)さいころを$3$回投げるとき，$3$つ出た目の最大値を$M$，最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．

円周上に異なる$n$個の点があり，どの$2$点も線分で結ばれている．ここで$n$は$4$以上の自然数とする．同様の確からしさで異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を考える．たとえば，$n=4$のときは，線分が$6$本，異なる$2$本の線分の組が$15$組，そのうち円の内部で交わるものは$1$組で，円の内部で交わっている確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$となる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．
(2)一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 4 \\
1 & 6
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)連立$1$次方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x+4y=kx \\
x+6y=ky
\end{array} \right.$が$x=y=0$以外の解をもつような実数$k$の値を$2$つ求めよ．
(2)(1)で求めた$k$の値を$a,\ b \ (a<b)$とし，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right)$とする．実数$s,\ t$に対し，行列$P=\left( \begin{array}{cc}
s & t \\
1 & 1
\end{array} \right)$が$AP=PB$を満たすとき，実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)(2)で定めた行列$B$について，$B^n$（ただし，$n$は自然数）を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(4)$A^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．

円周上に異なる$n$個の点があり，どの$2$点も線分で結ばれている．ここで$n$は$4$以上の自然数とする．同様の確からしさで異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を考える．たとえば，$n=4$のときは，線分が$6$本，異なる$2$本の線分の組が$15$組，そのうち円の内部で交わるものは$1$組で，円の内部で交わっている確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$となる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=5$のとき，線分の数，異なる$2$本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ．また，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ．
(2)一般に，異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき，その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ．

$n$を$9$以上の自然数とする．袋の中に$n$個の球が入っている．このうち$6$個は赤球で残りは白球である．この袋から$6$個の球を同時に取り出すとき，$3$個が赤球である確率を$P_n$とする．

(1)$P_{10}$を求めなさい．
(2)$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_{n}}$を求めなさい．
(3)$P_n$が最大となる$n$を求めなさい．

自然数の数列$\{a_n\}$の隣り合う$2$項に次の関係式が成り立つ．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n<100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n+3 \\
a_n \geqq 100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n-100
\end{array} \right. \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_n>a_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$を$m$とおく．$m,\ a_{m}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^m a_k$を求めよ．
(2)$a_{105}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{105} a_k$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n<100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n+3 \\
a_n \geqq 100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n-100
\end{array} \right. \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_n>a_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$を$m$とおく．$m,\ a_{m}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^m a_k$を求めよ．
(2)$a_{105}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{105} a_k$を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，
\[ A^3-3A+2E=O,\quad A \neq -2E \text{かつ}a+d \neq 2 \]
を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r_n$の和を求めよ．