「自然数」について
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国立 群馬大学 2013年 第7問自然数$n$について，$0$以上$n$以下の整数$x,\ y$を座標にもつ点$(x,\ y)$全体の集合を$X_n$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．
(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$X_5$と$Y_5$の共通部分$X_5 \cap Y_5$の点の個数を求めよ．
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．
(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$X_5$と$Y_5$の共通部分$X_5 \cap Y_5$の点の個数を求めよ．
国立 群馬大学 2013年 第14問自然数$n$について，$0$以上$n$以下の整数$x,\ y$を座標にもつ点$(x,\ y)$全体の集合を$X_n$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．$X_n$と$Y_n$の共通部分$X_n \cap Y_n$の点の個数を$a_n$とする．
(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$a_5$を求めよ．
(3)自然数$m$について，$a_{6m}$を$m$を用いて表せ．
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．$X_n$と$Y_n$の共通部分$X_n \cap Y_n$の点の個数を$a_n$とする．
(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$a_5$を求めよ．
(3)自然数$m$について，$a_{6m}$を$m$を用いて表せ．
国立 京都工芸繊維大学 2013年 第4問$xy$平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を考える．$0<p<q$のとき，$C$上の$2$点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{1}{q} \right)$を通る直線と$C$で囲まれる図形の面積を$S$とし，その図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．
(1)$\displaystyle r=\frac{q}{p}$とおくとき，$S$および$V$の値を$p,\ r$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$p=3^{n-1}$，$q=3^{n}$のときの$V$の値を$V_n$とおく．無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$の和を求めよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{q}{p}$とおくとき，$S$および$V$の値を$p,\ r$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$p=3^{n-1}$，$q=3^{n}$のときの$V$の値を$V_n$とおく．無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$の和を求めよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ii) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．
(2)定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．
(1)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ii) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．
(2)定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
国立 山形大学 2013年 第4問自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2013年 第8問硬貨投げをしたとき，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨がある．この硬貨を用いて硬貨投げを$n$回繰り返す．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$k$回目の硬貨投げの結果に応じて$a_k$を次で定める：
\[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl}
1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\
-1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}
\end{array} \right. \]
また，この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める．
(1)$n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．
\[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl}
1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\
-1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}
\end{array} \right. \]
また，この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める．
(1)$n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．
国立 京都工芸繊維大学 2013年 第3問$a$を正の定数とし，$m$を自然数とする．$xy$平面上の$2$曲線$C_1:y=ax^2 \ (x \geqq 0)$，$C_2:y=(\log x)^{m} \ (x \geqq 1)$および点$\mathrm{P}$は次の条件を満たしている．
$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する．
(1)$a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^m}{x^2} \ (x \geqq 1)$の最大値を求め，$x \geqq 1$において不等式$ax^2 \geqq (\log x)^m$が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，不定積分$\displaystyle \int (\log x)^n \, dx$を$I_n$とおく．$n \geqq 2$のとき，部分積分法により，$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$m=2$のとき，$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する．
(1)$a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^m}{x^2} \ (x \geqq 1)$の最大値を求め，$x \geqq 1$において不等式$ax^2 \geqq (\log x)^m$が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，不定積分$\displaystyle \int (\log x)^n \, dx$を$I_n$とおく．$n \geqq 2$のとき，部分積分法により，$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$m=2$のとき，$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 福井大学 2013年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$m,\ n$を自然数とするとき，次の不定積分を計算せよ．
\[ \int \cos mx \cos nx \, dx \]
(2)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．
(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と，直線$y=x$により囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$m,\ n$を自然数とするとき，次の不定積分を計算せよ．
\[ \int \cos mx \cos nx \, dx \]
(2)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．
(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と，直線$y=x$により囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 山口大学 2013年 第4問実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．数列$\{a_n\}$が
\[ a_n=[\sqrt{n}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えなさい．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めなさい．
(2)$n$を自然数とする．
\[ S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ S_n=\left( n+\frac{5}{6} \right)a_n-\frac{1}{2} {a_n}^2-\frac{1}{3}{a_n}^3 \]
\[ a_n=[\sqrt{n}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えなさい．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めなさい．
(2)$n$を自然数とする．
\[ S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ S_n=\left( n+\frac{5}{6} \right)a_n-\frac{1}{2} {a_n}^2-\frac{1}{3}{a_n}^3 \]