「自然数」について
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国立 鳥取大学 2013年 第2問方程式$7x+13y=1111$を満たす自然数$x,\ y$に対して，次の問いに答えよ．
(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．
(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．
国立 鳥取大学 2013年 第4問自然数の数列$\{a_n\}$の隣り合う$2$項に次の関係式が成り立つ．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
国立 鳥取大学 2013年 第1問方程式$7x+13y=1111$を満たす自然数$x,\ y$に対して，次の問いに答えよ．
(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．
(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．
国立 鳥取大学 2013年 第2問自然数の数列$\{a_n\}$の隣り合う$2$項に次の関係式が成り立つ．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
国立 島根大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$k,\ l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．
(2)さいころを$3$回投げるとき，$3$つ出た目の最大値を$M$，最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．
(1)$k,\ l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．
(2)さいころを$3$回投げるとき，$3$つ出た目の最大値を$M$，最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．
国立 島根大学 2013年 第3問数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
国立 大分大学 2013年 第1問$n$を$9$以上の自然数とする．袋の中に$n$個の球が入っている．このうち$6$個は赤球で残りは白球である．この袋から$6$個の球を同時に取り出すとき，$3$個が赤球である確率を$P_n$とする．
(1)$P_{10}$を求めなさい．
(2)$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_{n}}$を求めなさい．
(3)$P_n$が最大となる$n$を求めなさい．
(1)$P_{10}$を求めなさい．
(2)$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_{n}}$を求めなさい．
(3)$P_n$が最大となる$n$を求めなさい．
国立 筑波大学 2013年 第4問$3$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$が
\[ \begin{array}{lll}
a_{n+1}=-b_n-c_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=-c_n-a_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
c_{n+1}=-a_n-b_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \]
および$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c$を満たすとする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$p_n=a_n+b_n+c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{p_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$q_n=(-1)^n \{(a_n)^2+(b_n)^2+(c_n)^2\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{q_n\}$の初項から第$2n$項までの和を$T_n$とする．$a+b+c$が奇数であれば，すべての自然数$n$に対して$T_n$が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ．
\[ \begin{array}{lll}
a_{n+1}=-b_n-c_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=-c_n-a_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
c_{n+1}=-a_n-b_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \]
および$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c$を満たすとする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$p_n=a_n+b_n+c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{p_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$q_n=(-1)^n \{(a_n)^2+(b_n)^2+(c_n)^2\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{q_n\}$の初項から第$2n$項までの和を$T_n$とする．$a+b+c$が奇数であれば，すべての自然数$n$に対して$T_n$が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ．
国立 山形大学 2013年 第3問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第2問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．