$x,\ y,\ z,\ p$は自然数で
\[ xy+yz+zx=pxyz,\quad x \leqq y \leqq z \cdots\cdots① \]
を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)$p \leqq 3$を示せ．
(2)$①$を満たす自然数の組$(p,\ x,\ y,\ z)$をすべて求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=e^{-x}\sin ax$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \frac{2(n-1)\pi}{a} \leqq x \leqq \frac{2n \pi}{a} \right)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$A_n$で表すとき，$A_n$を$a$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty A_n$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S$を求めよ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，その一般項を$a_n$で表し，初項から第$n$項までの和を$S_a(n)$で表す．また，$\{b_n\}$は一般項が$b_n=2^{a_n}$で定義される数列であり，その初項から第$n$項までの和を$S_b(n)$で表す．次の各問に答えよ．

(1)$a=1,\ d=2$とする．

(i) $n$を用いて$a_n$と$S_a(n)$を表しなさい．
(ii) $\log_{10} \{S_a(1000)\}$の値を求めなさい．
(iii) $10<S_a(n)<50$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$b_3=\sqrt[5]{4},\ b_7=\sqrt[5]{64}$とする．

(i) $a$と$d$の値を求めなさい．
(ii) $b_{n+1}$の$b_n$に対する比を求めなさい．
(iii) $n$を用いて$b_n$と$S_b(n)$を表しなさい．
\mon[$\tokeishi$] $b_n=2$のとき，$n$と$S_b(n)$のそれぞれの値を求めなさい．

(3)自然数$m$について，$u=\sin a_{2m-1}+\cos a_{2m-1}$，$v=\sin a_{2m}-\cos a_{2m}$，$y=uv$，$0<a<2\pi$，$d=\pi$とする．

(i) $u$の最大値と，$u$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(ii) $v$の最大値と，$v$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(iii) $y$の最大値と，$y$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．

$a,\ b$を実数とし，行列$A$を$2$次の正方行列とする．$x,\ y$についての連立$1$次方程式を，行列を用いて
\[ A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \cdots\cdots (*) \]
と表す．次に答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
6 & 4
\end{array} \right)$のとき，連立$1$次方程式$(*)$を解け．
(2)$c$を実数とし，$a \neq 0,\ b \neq 0$とする．また，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & 1
\end{array} \right)$とする．

(i) $a \neq bc$とする．連立$1$次方程式$(*)$がただ$1$つの解をもつことを示せ．また，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$もただ$1$つの解をもつことを示せ．
(ii) 連立$1$次方程式$(*)$が解をもたないための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$も解をもたないことを示せ．

(iii) 連立$1$次方程式$(*)$が解を無数にもつための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，自然数$m$に対して，連立$1$次方程式
\[ (A+A^2+A^3+\cdots +A^{2m-1}) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
も解を無数にもつことを示せ．

関数$f(x)=\log x$がある．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ \log t)$における接線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．

(2)$\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．

$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく．また，$2$次の単位行列を$E$で表す．以下の各問に答えよ．

(1)$A^3=E$を示せ．
(2)$r$を実数とする．自然数$k$に対して，行列$(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}$の$(1,\ 1)$成分を$a_k$とおくとき，$a_k$を$r$を用いて表せ．
(3)自然数$N$に対して$\displaystyle x_N=2 \sum_{k=0}^N a_k$とする．ただし$a_k$は，$k \geqq 1$のときは(2)で定めたものとし，$k=0$のときは$\displaystyle a_0=1-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r^2$とおく．$-1<r<1$のとき，$\displaystyle f(r)=\lim_{N \to \infty}x_N$を求めよ．
(4)$r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき，(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{e^x}{e^x+e^{-x}}$について以下の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^1 y \, dx$を求めよ．

以下では，$n$は自然数とする．

(2)$\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y \, dx$を求めよ．

(3)$\displaystyle J_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y(1-y) \, dx$を求めよ．

(4)$\displaystyle K_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y^2 \, dx$とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}K_n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，
\[ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta) \]
が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$\cos (n \theta)=0$をみたすような$\theta$をすべて求めよ．
(3)$t=\cos \theta$とする．(1)の等式を使って，$\cos 5 \theta=f(t)$をみたす多項式$f(t)$を求めよ．
(4)$f(t)=0$のすべての解を$\cos \alpha \ (0 \leqq \alpha \leqq \pi)$の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．
(5)$\displaystyle \cos \frac{3}{10}\pi$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の式が成り立つことを示せ．
\[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2)自然数$n$に対して，
\[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \]
が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \]
が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の式が成り立つことを示せ．
\[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2)自然数$n$に対して，
\[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \]
が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \]
が成り立つことを示せ．