$9$個の自然数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$から相異なる$3$つの数を無作為に選び，それらを大きい順に並び変えたものを$X_1,\ X_2,\ X_3$ \ $(X_1>X_2>X_3)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$X_2$が$a \ (2 \leqq a \leqq 8)$以下になる確率を求めよ．
(2)$X_2$が$a$である確率が最大となるような$a$，およびそのときの確率を求めよ．

$9$個の自然数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$から相異なる$3$つの数を無作為に選び，それらを大きい順に並び変えたものを$X_1,\ X_2,\ X_3$ \ $(X_1>X_2>X_3)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$X_2$が$a \ (2 \leqq a \leqq 8)$以下になる確率を求めよ．
(2)$X_2$が$a$である確率が最大となるような$a$，およびそのときの確率を求めよ．

$n$を自然数とし，$a_n,\ b_n$を次のようにおく．
\[ a_n=-\int_0^\pi (e^x+e^{-x}) \sin 2nx \, dx,\quad b_n=\int_0^\pi (e^x-e^{-x}) \cos 2nx \, dx \]
以下の問いに答えよ．

(1)$a_n$と$b_n$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{4x^2-1} \, dx$を計算せよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{(4n^2+1)b_n}{4n^2-1}>\frac{e^\pi-e^{-\pi}-2}{4} \log \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(2n+3)} \]

$f(x)=e^{-x}$とする．実数$t$に対し，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$を考える．

(1)$t \geqq 0$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(2)$k$を自然数とし，$t=k \log 2$であるときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_k$とする．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -a \\
-b & b
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，$n$を自然数とする．また，
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす．$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$(x-1)^2-3 |x-1|+1<0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}$が$5$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

$0<\theta \leqq \pi$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく．$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問に答えよ．

(1)$A^n$を求めよ．
(2)$S_n=E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$S_n=P(A^n-E)$となる行列$P$を求めよ．ここで，$E$は単位行列である．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$のとき，$1+\cos \theta+\cos 2\theta+\cdots +\cos n\theta$を求めよ．

座標平面上の点$(x,\ y)$は，$x,\ y$がともに整数のとき格子点 \\
という．原点$(0,\ 0)$に番号$1$をふり，以下$(1,\ 0)$に番号$2$， \\
$(1,\ 1)$に番号$3$と，各格子点に図のように反時計まわりに番 \\
号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．
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(1)$n$が自然数のとき，格子点$(n,\ -n)$にふられる番号を$n$の \\
式で表せ．
(2)$n$が自然数のとき，格子点$(n+1,\ n+1)$にふられる番号を$n$の式で表せ．
(3)番号$1000$がふられる格子点の座標を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n<100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n+3 \\
a_n \geqq 100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n-100
\end{array} \right. \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_n>a_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$を$m$とおく．$m,\ a_{m}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^m a_k$を求めよ．
(2)$a_{105}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{105} a_k$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
2 & 3
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．
(2)$P^{-1}AP$を求めよ．
(3)$B=P^{-1}AP$とおく．$n$が自然数のとき，$B^n$を求めよ．
(4)$n$が自然数のとき，$A^n$を求めよ．