次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$2$次正方行列$A$と$2$つの列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
2 \\
5
\end{array} \right),\ Y=\left( \begin{array}{c}
1 \\
3
\end{array} \right)$があり，$AX=3Y$，$AY=X$が成り立っているとする．下の問いに答えなさい．

(1)$A$と$A^2$を求めなさい．
(2)自然数$n$について$A^n$を求めなさい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & -6 \\
1 & -1
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が条件$AB=BA,\ c \neq 0$を満たしている．$C=A-B$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$b,\ d$を$a,\ c$で表せ．
(2)$B^2=B$を満たす$B$をすべて求めよ．
(3)(2)で求めた$B$のそれぞれについて，$C^n$を求めよ．ただし$n$は自然数である．
(4)$A^n$を求めよ．ただし$n$は自然数である．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \]
とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2)(1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3)$n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \]
とかけることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \]
とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2)(1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3)$n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて，
\[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \]
とかけることを示せ．

$n$を自然数とするとき，$(2-\sqrt{3})^n$は$\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$（$m$は自然数）の形で表されることを示せ．

$n$を自然数とする．$\alpha$を実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\alpha+1 & 1 \\
-1 & \alpha-1
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(A-\alpha E)^2=O$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次単位行列，$O$は$2$次零行列とする．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)連立$1$次方程式$A^n \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の解$x,\ y$をすべて求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2a & -a^2 \\
1 & 0
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$AP$を求めよ．
(2)$B=P^{-1}AP$を求めよ．
(3)$B^n$を求めよ．
(4)$A^n$を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，$A^3-3A+2E=O$，$A \neq -2E$かつ$a+d \neq 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

任意の$2$次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対し，$D(M)=ps+3qr$，$T(M)=p+s$とする．また，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
d & b \\
c & a
\end{array} \right)$とし，$D(AB)=D(A)D(B)$が成り立つものとする．

(1)$bc=0$が成り立つか，または$A$の逆行列が存在しないことを示せ．
(2)自然数$n$に対し，$T(A^n)$を求めよ．