$2$桁の自然数で，正の約数を最も多くもつものをすべて挙げよ．

$x^3=1$の解のうち$1$でないものの$1$つを$\omega$とし，$y=(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)^3$を考える．$x_1$，$x_2$，$x_3$に$1$から$3$までの自然数を重複を許さないように代入するとき$y$が取り得る値は何通りあるか．

$xy$平面において，曲線$y=nx^2$（$n$は自然数，$x \geqq 0$）を$C_n$とし，直線$y=1$を$L$とする．$2$つの曲線$C_n$，$C_{n+1}$および$L$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_n$を求めよ．
(2)任意の$n$に対して$S_n>S_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k>\frac{1}{2}$となる最小の$n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_n$が次の式で与えられるとする．
\[ S_n=a_n+2n^2-n-1 \]
また，数列$\{b_n\}$は次の条件によって与えられるとする．
\[ b_1=-2,\quad b_{n+1}=2b_n+a_n \]
以下の問題に答えよ．

(1)$n$が$2$以上の自然数のとき，$S_{n-1}$を$n$の式で表せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$が$2$以上の自然数のとき，不等式$b_n>0$を証明せよ．
(5)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．$T_n$を$n$の式で表せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の各問いに答えよ．

\mon[（ア）] $\displaystyle \frac{8}{9}<\frac{q}{p}<\frac{9}{10}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ．

\mon[（イ）] $\displaystyle \frac{2013}{2014}<\frac{q}{p}<\frac{2014}{2015}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ．

(2)自然数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc=1$をみたすとき，次の各問いに答えよ．

\mon[（ア）] 自然数$p,\ q$が$dq-cp>0$，$ap-bq>0$をみたすとき，$p$の最小値および$p$が最小となるような$q$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
\mon[（イ）] $\displaystyle \frac{c}{d}<\frac{q}{p}<\frac{a}{b}$をみたす自然数$p,\ q$で$p$が最小となるような分数$\displaystyle \frac{q}{p}$を考えることにより，$a+c$，$b+d$が互いに素であることを示せ．
\mon[（ウ）] $A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ a+d=10$のとき，$(A+A^{-1})^3$の値を求めよ．

$p,\ q$は自然数とする．$\alpha,\ \beta$は$\alpha>\beta$を満たす$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解とする．$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を

$a_1=0,\quad b_1=1$
$a_{n+1}=(p+q)a_n+pb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+1}=pa_n+qb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)$a_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$かつ$b_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$となることを示せ．
(2)$c_n=\alpha a_n+b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，$d_n=-a_n+\alpha b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$c_n=(p \alpha+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$かつ$d_n=\alpha (p \beta+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$p \beta+q>0$のとき，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}>\frac{a_n}{b_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．

数列$1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 4,\ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 1,\ 2,\ \cdots$の第$n$項を$a_n$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$a_{50}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{50} a_k$を求めよ．
(3)$a_m-a_{m+1}>99999$を満たす最小の自然数$m$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

$n$を$3$以上の自然数とし，$m$を自然数とする．正$n$角形の$n$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形を考える．次の問いに答えよ．

(1)すべての三角形の個数を求めよ．
(2)直角三角形の個数を求めよ．
(3)$n=3m$のとき，正三角形の個数を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，二等辺三角形の個数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．

(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）

$a,\ b$を0でない実数とし，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
0 & a^2 \\
-b^2 & 2ab
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
とする．さらに，実数$p$を，$B=A-pE$が$B^2=O$を満たすように定める．

(1)$p$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対し，
\[ A^n=sE+tB \quad (s,\ t \text{は実数}) \]
と表すとき，$s,\ t$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対し，
\[ A^n \left( \begin{array}{c}
a \\
r
\end{array} \right)=q \left( \begin{array}{c}
a \\
r
\end{array} \right) \]
を満たす実数$q$と$r$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ．