$r$は$2$以上$9$以下の自然数とする．$n$を$r$以上の自然数として，次の条件を満たす$n$桁の自然数を考える．

(i) 各位の数は$1$から$r$までの数$1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどれかである．
(ii) $1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどの一つも必ずどこかの位に現れる．

このような自然数全体の集合を考え，この集合の要素の個数を$_r \mathrm{S}_n$とおく．また，この集合のすべての要素の和を$f_r(n)$とおく．

(1)$r=2$とする．

(i) $_2 \mathrm{S}_2=[ア]$，$_2 \mathrm{S}_3=[イ]$である．

一般に，$_2 \mathrm{S}_n={[ウ]}^n-[エ]$である．

(ii) $f_2(2)=[オ][カ]$，$f_2(3)=[キ][ク][ケ]$である．

一般に，$\displaystyle f_2(n)=\frac{[コ]}{[サ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {_2 \mathrm{S}_n}$が成り立つ．

(2)$r=3$とする．

(i) $_3 \mathrm{S}_n={[セ]}^n-[ソ] \cdot {[ウ]}^n+[タ]$である．

(ii) $f_3(n)=\frac{[チ]}{[ツ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_3 \mathrm{S}_n$が成り立つ．

(3)$r=4$とする．

(i) $_4 \mathrm{S}_n={[テ]}^n-[ト] \cdot {[セ]}^n+[ナ] \cdot {[ウ]}^n-[ニ]$である．

(ii) $f_4(n)=\frac{[ヌ]}{[ネ][ノ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_4 \mathrm{S}_n$が成り立つ．

$C_1$を半径$1$の円とする．円$C_1$に内接する正方形を$S_1$とする．正方形$S_1$に内接する円を$C_2$とする．以下同様に，円$C_n$に内接する正方形を$S_n$とし，正方形$S_n$に内接する円を$C_{n+1}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)円$C_2$の半径を$r_2$とする．$r_2$を求めよ．
(2)円$C_n$の半径を$r_n$とする．$r_n$を$n$の式で表せ．
(3)正方形$S_n$の面積を$A_n$とし，$T_n=A_1+A_2+A_3+\cdots +A_n$とする．$T_n$を$n$の式で表せ．
(4)$T_n$が円$C_1$の面積よりも大きくなるような自然数$n$のうち，最小のものを求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$1$でない実数$a$に対し，$f(x)=x^3+ax^2+x+1$，$g(x)=x^3+x^2+x+a$とする．方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$がただ$1$つの共通解をもつならば，$a=[ア]$であり，$f(x)=0$のすべての解は$[イ]$である．
(2)$x>0$のとき，$f(x)=e^{-\sqrt{3}x} \sin x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$とするとき，$z^{2014}=[オ]+[カ]i$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$a,\ b$を$2$から$9$までの自然数とするとき，$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$64$通りあるが，そのうち$\log_a b$が整数となるのは$[キ]$通りであり，整数でない有理数となるのは$[ク]$通りである．
(5)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$かつ$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$を満たす．このとき，ベクトル$\overrightarrow{c}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}$が$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{5}{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-3$を満たすならば，$p=[ケ]$，$q=[コ]$である．ただし，$p,\ q$は実数とする．

次の問に答えよ．

(1)半径$1$の円の一部を半径に沿って切り取って扇形を作り，この扇形の切り口を合わせて円錐を作る．円錐の頂点から底面に下した垂線の長さを$h$とするとき，円錐の容積を最大にする$h$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．
(3)定数$a$に対し，$\displaystyle b=-a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$とおく．自然数$n$に対し
\[ S_n=1+b+b^2+\cdots +b^{n-1} \]
と定める．数列$\{S_n\}$が収束するような$a$の範囲を求め，そのときの極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を$a$の式で表せ．

$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)任意の$n$に対し，不等式$n! \geqq 2^{n-1}$が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．
(2)$n \geqq 4$のとき，不等式
\[ 1.7<\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}<2 \]
が成り立つことを示せ．

すべての自然数$n$に対して，不等式
\[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{2n-1}}>\sqrt{2n+1}-1 \]
が成り立つことを示せ．

次の設問に答えなさい．

(1)$x=2+\sqrt{2}$，$y=2-\sqrt{2}$のとき$\displaystyle \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$の値を求めなさい．

(2)$(a+bx+cx^2)^3$の展開式において$x^4$の係数を求めなさい．
(3)$x^2-y^2+3x+y+2$を因数分解しなさい．
(4)$x,\ y$を自然数とするとき，$x^2-y^2+3x+y+2=4$を満たす$x,\ y$を求めなさい．

$1$次変換$f$は点$(1,\ 3)$を点$(3,\ 5)$へ，点$(1,\ -1)$を点$(1,\ -1)$へ移すとする．$f$を表す行列を$A$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$を求めよ．
(2)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

$2$次正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$についての条件
\[ (*) a=d \text{かつ} b=-c \]
を考える．$(*)$を満たす$M$に対して，実数$f(M)$を$f(M)=\sqrt{a^2+b^2}$と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，積$AB$も$(*)$を満たすことを証明しなさい．
(2)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$A=16 \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい．ただし，本問においては$\log_{10}2=0.301$とする．

$xy$平面上で$x$座標と$y$座標がともに自然数であるような点$(m,\ n)$の各々に，自然数$a(m,\ n)$が割り当てられている．$a(1,\ 1)=1$であり，すべての$m,\ n$に対して次の規則が成り立っているとする．
\[ \begin{array}{l}
a(m+1,\ n)=a(m,\ n)+m+n \\
a(m,\ n+1)=a(m,\ n)+m+n-1
\end{array} \]
このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$a(1,\ 3)$および$a(2,\ 2)$の値を求めなさい．
(2)各々の自然数$n$に対して$a_n=a(n,\ n)$とおいて数列$\{a_n\}$を定めるとき，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$の式で表しなさい．
(3)$a_{100}$の値を求めなさい．