$[シ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

$n$を$100$以下の自然数とし，$n$の約数の個数を$f(n)$，空集合を$\phi$とする．

(1)$f(48)=[アイ]$であり，$f(n)=9$を満たす最小の自然数は$n=[ウエ]$である．$f(n)=5$を満たす$n$の個数は$[オ]$個であり，$f(n)=6$を満たす$n$の個数は$[カキ]$個である．
(2)$f(n)$の最大値は$[クケ]$である．したがって，$f(f(n))>4$を満たす最小の自然数は$n=[コサ]$となる．
(3)$f(n)=2$を満たす$100$以下の自然数$n$の集合を$A$，$100$以下の素数の集合を$B$とすると，$[シ]$が成り立つ．

$[シ]$の解答群
\mon[$①$] $A \in B$
\mon[$②$] $B \in A$
\mon[$③$] $A=B$
\mon[$④$] $A \subset B$かつ$A \neq B$
\mon[$⑤$] $B \subset A$かつ$A \neq B$
\mon[$⑥$] $A \cap B=\phi$
\mon[$④chi$] $A \cap B \neq \phi$かつ$A \neq A \cup B \neq B$

$(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$（$n$は自然数）を満たす整数の数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を考える．

(1)$a_{n+1}$，$b_{n+1}$のそれぞれを$a_n$と$b_n$で表す漸化式を作れ．
(2)漸化式$a_{n+1}+pb_{n+1}=q(a_n+pb_n)$を満たす実数の組$(p,\ q)$を$2$組求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$つの漸化式を解いて，一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．

$n$を自然数とする．

(1)次の和を求めよ．
\[ 1+3+5+\cdots +(2n-1) \]
(2)自然数$k$に対して$S_k=1+2+\cdots +k$とおくとき，
\[ S_1-S_2+S_3-S_4+\cdots +S_{2n-1} \]
を求めよ．

図のように，$1$から$9$までの異なる自然数の書かれたボタンを$3$行$3$列に並べる．
（図は省略）

(1)ボタンの並べ方は，全部で何通りあるか．
(2)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて奇数となる並べ方は何通りあるか．
(3)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて$3$の倍数となる並べ方は何通りあるか．

$3$桁の自然数を全体集合として次の問に答えよ．

(1)$7$で割り切れない$3$桁の自然数は$[$10$][$11$][$12$]$個ある．
(2)$3$でも$5$でも割り切れない$3$桁の自然数は$[$13$][$14$][$15$]$個ある．
(3)$3$でも$5$でも$7$でも割り切れない$3$桁の自然数は$[$16$][$17$][$18$]$個ある．
(4)$3$で割り切れて，$7$で割り切れない$3$桁の自然数は$[$19$][$20$][$21$]$個ある．

$m$を自然数とするとき，以下を証明せよ．

(1)$m^3-m$はつねに$6$で割り切れる．
(2)$m^3-m$が$4$で割り切れるための必要十分条件は，$m$を$4$で割った余りが$2$でないことである．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |(x-1)(x-t)| \, dt \]
とする．
$x \leqq [ア]$，$x \geqq [イ]$のとき，
\[ f(x)=[ウ]x^2+\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カ]}{[キ]} \]
$[ア]<x<[イ]$のとき，
\[ f(x)=[ク]x^3+[ケ]x^2+\frac{[コ]}{[サ]}x+\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，関数$f(x)$は$x=[セ]$のとき，最小値$[ソ]$をとる．
(2)自然数$m,\ n$が
\[ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}<\frac{1}{3} \]
を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$の最大値は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．

次の空欄$[$1$]$～$[$24$]$にあてはまる数字を記入せよ．ただし，空欄$[$21$]$には，$+$または$-$の記号が入る．

(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．

(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．

次の$[あ]$～$[お]$に当てはまるものを，下の選択肢から選べ．

(1)$\displaystyle x=-\frac{2}{3}$は$3x^2-13x-10=0$であるための$[あ]$
(2)$n$を自然数とする．$n^2$が$5$の倍数であることは，$n$が$5$の倍数であるための$[い]$
(3)$a,\ b$を自然数とする．$(a+b)^2$が奇数であることは，$ab$が偶数であるための$[う]$
(4)平面上の異なる$2$つの円$C$，$C^\prime$の半径をそれぞれ$r$，$r^\prime$とし，中心間の距離を$d$とする．ただし，$r<r^\prime$とする．このとき，$C$と$C^\prime$が共有点をもたないことは，$d>r+r^\prime$であるための$[え]$
(5)$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$の$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{CD}=4$となる点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=3$となる点$\mathrm{E}$をとる．このとき，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{F}$に対して，$\mathrm{AF}=3$であることは，$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が一直線上にあるための$[お]$
選択肢：

\mon[$①$] 必要条件であるが十分条件ではない．
\mon[$②$] 十分条件であるが必要条件ではない．
\mon[$③$] 必要十分条件である．
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない．

白，赤，黄，緑の$4$色に光るライトがある．はじめ，ライトの色は白であり，$1$分経過するごとに，次のルールでライトの色が変わるものとする．ただし，ライトの色が白のときについては$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$，それ以外の色のときについては$n=1,\ 2,\ \cdots$とする．

(i) $n$分後に白のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤，黄，緑になる．
(ii) $n$分後に赤のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，黄，緑になる．
(iii) $n$分後に黄のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，緑になる．
\mon[$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，黄になる．

$n$を自然数とし，$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$，また，$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする．

(1)$\displaystyle P_2=\frac{[ア]}{[イ]},\ Q_2=\frac{[ウ]}{[エ]}$である．

(2)$P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると，自然数$n$に対して，$n$が$3$以上のとき，


$\displaystyle P_n=\frac{[オ]}{[カ]} \left( [キ]-{\left( -\frac{[ク]}{[ケ]} \right)}^{n-1} \right)$

$\displaystyle Q_n=\frac{[コ]}{[サ]} \left( [シ]+\frac{[ス]}{[セ]} {\left( -\frac{[ソ]}{[タ]} \right)}^{n-1} \right)$


である．