行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
a
\end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c}
1 \\
a
\end{array} \right)$を満たす実数$a,\ k$の値を求めよ．
(2)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & p \\
q & 0
\end{array} \right)$が$AP=P \left( \begin{array}{cc}
r & 1 \\
0 & r
\end{array} \right)$を満たすとき，実数$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，行列$B=\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 1 \\
0 & \alpha
\end{array} \right)$の$n$個の積$B^n$が
\[ B^n=\left( \begin{array}{cc}
\alpha^n & n \alpha^{n-1} \\
0 & \alpha^n
\end{array} \right) \]
となることを証明せよ．ただし，$\alpha$は$0$と異なる実数とする．
(4)自然数$n$に対して，$A$の$n$個の積$A^n$を求めよ．
(5)自然数$n$に対して，実数$x_n,\ y_n$を$A^n=x_nA+y_nE$を満たすように定めるとき，$x_n,\ y_n$を$n$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．

(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．

(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．

(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

$n$は自然数，$m$は整数，$k,\ \alpha,\ \beta$は実数とする．

(1)$\alpha \geqq 1$，$\beta \geqq 1$のとき，$\alpha\beta \geqq \alpha+\beta-1$が成り立つことを示せ．
(2)$x$に関する$2$次方程式$x^2-mx+k=0$の$2$つの解を$p,\ q$とする．$p$が整数ならば，$q$と$k$も整数であることを示せ．
(3)$x$に関する$2$次方程式$x^2-n^2x+n=0$は，整数の解をもたないことを示せ．
(4)$x$に関する$2$次方程式$x^2-(n-2)^2x+n=0$が整数の解をもつとき，$n$の値とその解をすべて求めよ．

$n$は自然数，$m$は整数，$k,\ \alpha,\ \beta$は実数とする．

(1)$\alpha \geqq 1$，$\beta \geqq 1$のとき，$\alpha\beta \geqq \alpha+\beta-1$が成り立つことを示せ．
(2)$x$に関する$2$次方程式$x^2-mx+k=0$の$2$つの解を$p,\ q$とする．$p$が整数ならば，$q$と$k$も整数であることを示せ．
(3)$x$に関する$2$次方程式$x^2-n^2x+n=0$は，整数の解をもたないことを示せ．
(4)$x$に関する$2$次方程式$x^2-(n-2)^2x+n=0$が整数の解をもつとき，$n$の値とその解をすべて求めよ．

$n$は自然数，$p_0$，$p_1$，$\cdots$，$p_n$は$p_0>0$，$\cdots$，$p_n>0$かつ$p_0+p_1+\cdots+p_n=1$を満たす定数とする．ポイント$0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1,\ n$が，それぞれ$p_0,\ p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_{n-1},\ p_n$の確率で得られる試行$T$を考える．試行$T$を$1$回行って得られるポイントの期待値を$a$とし，$A=[a]+1$とする．ただし，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．競技者は，試行$T$を下記の各設問のルールに従って何回か行う．

(1)$k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う．

\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$b_k$とする．$b_k$を求めよ．

(2)$(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ．
(3)$m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う．

\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
\mon[$③$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目，$2$回目のポイントは無効とし，$3$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$c_m$とする．$c_m$を求めよ．

(4)$(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり，$c_B \geqq b_A$であることを示せ．ただし，$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である．
(5)$n=5$とし，試行$T$として，$5$枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える．また，$b_k$，$c_m$は上記で定義したものとする．

(i) $p_0$，$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，$p_5$，$a$を求めよ．
(ii) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合，$b_k$の最大値を求めよ．
(iii) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合，$c_m$の最大値を求めよ．

袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．

袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．

自然数$n$に対して，和
\[ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．

(1)各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して
\[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \]
と表されることを示せ．
(2)$n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数$m,\ n (m<n)$に対して，和
\[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．