$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．

(1)すべての自然数$n$に対して，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2)$c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3)$a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば，$a=b=1$であることを示しなさい．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい．
(2)$k$を自然数とする．$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき，$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)すべての自然数$n$に対して，
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば，$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．

$a,\ b,\ c,\ n$を自然数とし，$a \leqq b \leqq c$かつ$n(a+b+c)=abc$をみたすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a=b=c$のとき，$n$は$3$の倍数であることを示せ．
(2)$n=3$のとき，自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．

次の各問に答えよ．ここで，必要ならば$0.301<\log_{10}2<0.302$であることを用いてもよい．

(1)$k \leqq \log_{\sqrt{2}}25<k+1$を満たす自然数$k$を求めよ．
(2)$8^n$の桁数が$26$以上になる最小の自然数$n$を求めよ．例えば，$2014$の桁数は$4$である．

$A,\ E$はそれぞれ行列$\left( \begin{array}{cc}
2 & 4 \\
1 & -1
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を表す．以下の各問に答えよ．

(1)$A(A+2E)=a_1(A+2E)$，$A(A-3E)=b_1(A-3E)$となる数$a_1$，$b_1$を求めよ．
(2)各自然数$n$に対して
\[ A^n(A+2E)=a_n(A+2E),\quad A^n(A-3E)=b_n(A-3E) \]
となる数$a_n,\ b_n$を求めよ．
(3)各自然数$n$に対して，$A^n=c_nA+d_nE$となる数$c_n,\ d_n$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{d_1+d_2+\cdots +d_n}{a_n}$を求めよ．
(5)各自然数$n$に対して$c_n$は整数であることを示せ．

座標平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を自然数とし，放物線$y=x^2$，直線$x=n$および$x$軸で囲まれた図形を$S_n$とする．$S_n$の境界上にある格子点の個数を$a_n$とし，$S_n$の境界を除いた内部にある格子点の個数を$b_n$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_n$を，$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)$S_n$の面積を$c_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{a_n}{2}+b_n-c_n \right)$を求めよ．

$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とおく．$x$を実数とし，行列
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
3x-1 & 2x-1 \\
-3x+2 & -2x+2
\end{array} \right) \]
を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して$X$の$n$乗を$X^n=\left( \begin{array}{cc}
P_n(x) & Q_n(x) \\
R_n(x) & S_n(x)
\end{array} \right)$とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{1}{2}$のとき，$Q_n(x)=0$であることを示せ．また，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{2}{3}$のとき，$R_n(x)=0$であることを示せ．
(2)$a$と$b$は定数とする．このとき，$X^2+aX+bE=O$をみたす実数$x$が存在するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$X^3=O$をみたす実数$x$は存在しないことを証明せよ．

$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とおく．$x$を実数とし，行列
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
3x-1 & 2x-1 \\
-3x+2 & -2x+2
\end{array} \right) \]
を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して$X$の$n$乗を$X^n=\left( \begin{array}{cc}
P_n(x) & Q_n(x) \\
R_n(x) & S_n(x)
\end{array} \right)$とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{1}{2}$のとき，$Q_n(x)=0$であることを示せ．また，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{2}{3}$のとき，$R_n(x)=0$であることを示せ．
(2)$a$と$b$は定数とする．このとき，$X^2+aX+bE=O$をみたす実数$x$が存在するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$X^3=O$をみたす実数$x$は存在しないことを証明せよ．

下の図は自然数の平方数を三角形状に順に並べたものである．各平方数については，第$n$段目の第$m$項と呼ぶことにする．例えば，第$4$段目の第$2$項と呼ばれる平方数は$64$である．このとき，次の各問に答えよ．

\begin{tabular}{ccccccccccc}
& & & & & $1$ & & & & & \\
& & & & $4$ & & $9$ & & & & \\
& & & $16$ & & $25$ & & $36$ & & & \\
& & $49$ & & $64$ & & $81$ & & $100$ & & \\
& $121$ & & $144$ & & $169$ & & $196$ & & $225$ & \\
$\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$
\end{tabular}


(1)第$n$段目の第$1$項を$n$を用いて表せ．
(2)第$n$段目の各項の総和を$n$を用いて表せ．

次の問に答えよ．

(1)$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$があれば$x$と$y$はいずれも$3$の倍数であることを示し，$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$の例を挙げよ．
(2)$x^3+4y^3=9z^3$をみたす自然数$x,\ y,\ z$は存在しないことを示せ．