$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -2 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，$(AB)^n$を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(2)自然数$n$に対して，$(BA)^n$を求めよ．

$p$を素数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$k$が$1 \leqq k \leqq p-1$を満たすとき，$\comb{p}{k}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{k}$は$p$個のものから$k$個取った組合せの総数である．
(2)$n$を自然数とするとき，$n$に関する数学的帰納法を用いて，$n^p-n$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$n$が$p$の倍数でないとき，$n^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．

$100$から$999$までの自然数の集合を全体集合$U$とし，そのうち$14$で割ると$3$余るものの集合を$A$，$9$の倍数の集合を$B$とおく．

(1)$A,\ B$の要素の個数を求めなさい．
(2)$A \cap B$の要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)$U$の要素が$1$つずつ書かれた玉の入った袋から玉を$2$個取り出す．このとき，$2$個の玉に書かれている数がいずれも$14$で割ると$3$余り，かつ$9$で割り切れない場合の確率を求めなさい．

$100$から$999$までの自然数の集合を全体集合$U$とし，そのうち$14$で割ると$3$余るものの集合を$A$，$9$の倍数の集合を$B$とおく．

(1)$A,\ B$の要素の個数を求めなさい．
(2)$A \cap B$の要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)$U$の要素が$1$つずつ書かれた玉の入った袋から玉を$2$個取り出す．このとき，$2$個の玉に書かれている数がいずれも$14$で割ると$3$余り，かつ$9$で割り切れない場合の確率を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．

(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．

(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u}=(p,\ q)$，$\overrightarrow{v}=(r,\ s)$は
\[ |\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}|=1,\quad A \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right)=\alpha \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
r \\
s
\end{array} \right)=\beta \left( \begin{array}{c}
r \\
s
\end{array} \right) \]
を満たすとする．ただし，$\alpha,\ \beta$は相異なる実数である．このとき，次の問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$は直交することを示せ．
(2)行列$X=\left( \begin{array}{cc}
p & r \\
q & s
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3)$(2)$の$X$に対して，$AX=X \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$となることを示せ．
(4)自然数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
f_n & g_n \\
h_n & k_n
\end{array} \right)$とする．このとき，$f_n+k_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表せ．

次の各問いに答えよ．

(1)座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．

(i) $XY=YX$が成立する．
(ii) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(iii) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．

次の一連の問いに答えなさい．

(1)自然数$m$に対して，$x>0$のとき$\displaystyle e^x>\frac{x^m}{m!}$であることを示しなさい．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}=0$を示しなさい．
(3)自然数$n$に対して$\displaystyle \Gamma_K(n)=\int_0^K x^{n-1}e^{-x} \, dx$とするとき，$\displaystyle \lim_{K \to \infty} \Gamma_K(n)$を求めなさい．

次の問に答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=x^3-x^2+12$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{1}{12}({a_n}^3-{a_n}^2+12) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，すべての自然数$n$に対して，$1<a_n<3$が成り立つことを示せ．
(3)$\{a_n\}$を$(2)$で定められた数列とするとき，すべての自然数$n$に対して，$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．