以下の問に答えよ．

(1)$0$以上の整数$n$に対して，$2$次方程式$x^2+2(n-5)x+n^2-n=0$が実数解をもつとする．このとき，$n$の値をすべて求めよ．
(2)二桁の自然数で，一の位の数と十の位の数の和の$2$乗がもとの二桁の自然数になるような数をすべて求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{{2}^x}$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$c$を$0 \leqq c \leqq 2$とする．このとき，$0 \leqq x \leqq 2$を満たす$x$に対して，不等式
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．
(2)$n$を自然数とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$は$0$以上の実数で，$x_1+x_2+\cdots +x_n=2$を満たすとする．このとき，不等式
\[ f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n) \leqq n f \left( \frac{2}{n} \right) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．

$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とし，
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} & -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} \\
1 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\alpha^n \\
\beta^n
\end{array} \right) \]
によって数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を定義する．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．

(1)次の各問に答えなさい．

(i) $\alpha,\ \beta$の値を求めなさい．
(ii) $a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めなさい．
(iii) $b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めなさい．

(2)ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}=(a_1,\ b_1)$，$\overrightarrow{q}=(a_2,\ b_2)$，$\overrightarrow{r}=(a_3,\ b_3)$と定義する．

(i) $\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$，$|\overrightarrow{r}|$を求めなさい．
(ii) $\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$について，$\cos \theta$，$\sin \theta$，$\tan \theta$を求めなさい．
(iii) $\overrightarrow{q}$と$\overrightarrow{r}$のなす角$\theta$について，$\cos 2\theta$，$\sin 2\theta$，$\tan 2\theta$を求めなさい．

(3)自然数$n$について，$a_{n+1} \geqq a_n$，$b_{n+1} \geqq b_n$がそれぞれ成り立つ．

(i) $\displaystyle \log_{10}a_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい．

(ii) $\displaystyle \log_{10}b_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい．

(iii) $\log_{10}(a_nb_n) \leqq 1$を満たす$n$をすべて求めなさい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -2 \\
-1 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$4P+Q=A$と$P+Q=E$を満たす$2$次正方行列$P,\ Q$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$P,\ Q$に対して，$PQ,\ QP$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
(4)$A^n$の逆行列を$B_n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
a_1=1, & a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=3, & b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha=1+\sqrt{2}$とする．自然数$n$に対して，不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a+b+c+d=10$を満たす自然数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(2)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たし，どれも$0$とはならない整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(3)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．

自然数$n$に対し，$3$個の数字$1,\ 2,\ 3$から重複を許して$n$個並べたもの$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$の全体の集合を$S_n$とおく．$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$に対し，次の$2$つの条件を考える．

条件$\mathrm{C}_{12}$：$1 \leqq i<j \leqq n$である整数$i,\ j$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
条件$\mathrm{C}_{123}$：$1 \leqq i<j<k \leqq n$である整数$i,\ j,\ k$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$，$x_k=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
例えば，$S_4$の要素$(3,\ 1,\ 2,\ 2)$は条件$\mathrm{C}_{12}$を満たすが，条件$\mathrm{C}_{123}$は満たさない．
$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$のうち，条件$\mathrm{C}_{12}$を満たさないものの個数を$f(n)$，条件$\mathrm{C}_{123}$を満たさないものの個数を$g(n)$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(4)$と$g(4)$を求めよ．
(2)$f(n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ．
(4)$g(n)$を$n$を用いて表せ．

$\displaystyle a<\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}<a+1$をみたす自然数$a$に対し，次の問いに答えなさい．

(1)$a$を求めなさい．

(2)$\displaystyle 10 \left( \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-a \right)$の整数部分を求めなさい．

$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める．

$a_1=a,\ a_{2n}=a_{2n-1}+d,\ a_{2n+1}=ra_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=a,\ b_{2n}=rb_{2n-1},\ b_{2n+1}=b_{2n}+d \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

ただし，$a \neq 0$，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a=3$，$d=1$，$r=2$のとき，$b_9$を求めよ．
(2)数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して次が成り立つことを示せ．
\[ a_{2n}=ar^{n-1}+\frac{d(r^n-1)}{r-1} \]
(3)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_{2n+1}-a_{2n}=\frac{2}{5}ar^n$が成り立つとき，$r$の値を求めよ．

$x_0=1$，$y_0=0$とする．$n$が自然数のとき，座標平面上の点$\mathrm{P}_{n-1}(x_{n-1},\ y_{n-1})$は行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$に移されるとする．点$\mathrm{P}_{n-1}$と点$\mathrm{P}_n$の距離を$l_n$とする．
（図は省略）

(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_n$を$x_{n-1},\ y_{n-1}$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \frac{l_{n+1}}{l_n}$の値を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$の和を求めよ．