$\alpha$を実数とする．$2$つの関数$f(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x)$と$g(x)=\alpha e^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ．ただし，$C$は積分定数である．
(2)すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ．
(3)$\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする．曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし，$n$が自然数であるとき，
\[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \]
とする．このとき，$S_n$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．

$n$を$3$以上の自然数とし，$k$を$4$以上の自然数とする．$1$から$n$までの番号の札が$1$枚ずつ計$n$枚ある．この中から$1$枚の札を引き，番号を記録してからもとに戻す操作をする．この試行を$k$回くり返す．$i$回目（$1 \leqq i \leqq k$）に引いた札の番号を$X_i$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_k$がすべて異なる番号である確率を求めよ．
(2)$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_k$のうち，ちょうど$k-1$個が同じ番号である確率を求めよ．
(3)自然数$l$が$2 \leqq l \leqq k-2$を満たすとき，$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_k$のうち，ちょうど$l$個が同じ番号で，残りの$k-l$個がすべて異なる番号である確率を求めよ．

$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．

逆行列をもつ$2$次の正方行列，$A_1,\ A_2,\ A_3,\ \cdots$が，関係式
\[ A_{n+1}A_n=A_n+2E \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．さらに$A_1+E$は逆行列をもつとする．ここで$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$A_n+E$は逆行列をもち，
\[ (A_{n+1}+E)^{-1}=\frac{1}{2}A_n(A_n+E)^{-1} \]
が成立することを示せ．
(2)$B_n=(2E-A_n)(A_n+E)^{-1}$により，行列$B_n$を定める．$B_{n+1}$と$B_n$との間に成立する関係式を求め，$B_n$を$B_1$と$n$を用いて表せ．

自然数$n$に対して，和
\[ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．

(1)各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して
\[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \]
と表されることを示せ．
(2)$n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数$m,\ n (m<n)$に対して，和
\[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数，$a$を正の定数として，
\[ f(x)=(n+1) \{ \log (a+x)-\log (n+1) \}-n(\log a-\log n)-\log x \]
とおく．$x>0$における関数$f(x)$の極値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(2)$n$が$2$以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k+1}{k}>(n+1)^{\frac{1}{n}} \]

$a,\ b$を実数，$a>0$として，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2 \\
-2 & b
\end{array} \right)$の定める$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が点$\mathrm{P}_1$に移され，点$\mathrm{P}_1$が点$\mathrm{P}_2$に移されるものとする．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を求めよ．
(2)ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると，
\[ A \left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right) \]
が成り立つ．$c$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする．すべての自然数$n$に対して
\[ A^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right) \]
が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(4)$(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め，$A^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数である．

袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．

以下の問いに答えよ．

(1)正の実数$a,\ b,\ c$について，不等式
\[ \frac{\log a}{a}+\frac{\log b}{b}+\frac{\log c}{c}<\log 4 \]
が成立することを示せ．ただし，$\log$は自然対数とし，必要なら$e>2.7$および$\log 2>0.6$を用いてもよい．
(2)自然数$a,\ b,\ c,\ d$の組で
\[ a^{bc} b^{ca} c^{ab}=d^{abc},\quad a \leqq b \leqq c,\quad d \geqq 3 \]
を満たすものをすべて求めよ．

$r$を$r>1$である実数とし，数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+r^2}{a_n+1} \]
以下の問いに答えよ．

(1)$n$が奇数のとき$a_n<r$，$n$が偶数のとき$a_n>r$であることを示せ．
(2)任意の自然数$n$について，$a_{n+2}-r$を$a_n$と$r$を用いて表せ．
(3)任意の自然数$n$について，次の不等式を示せ．
\[ \frac{a_{2n+2}-r}{a_{2n}-r}<\left( \frac{r-1}{r+1} \right)^2 \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n+1}$を求めよ．