$a_1=3$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5a_n-4}{2a_n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$に対し，$a_n>2$であることを示せ．

(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-2}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$p$を素数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し，$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)$1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって，$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ．
(4)自然数$n$に対し，$n^p-n$は$p$で割り切れることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．

$2$次方程式$x^2-x-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，
\[ c_n=\alpha^n+\beta^n,\quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$n$を$2$以上の自然数とするとき，
\[ c_{n+1}=c_n+c_{n-1} \]
となることを示せ．
(2)曲線$y=c_1x^3-c_3x^2-c_2x+c_4$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=c_1x^2-c_3x+c_2$と，$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作$(*)$を考える．

\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，

(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．



はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．

(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m p_n$を求めよ．

$r$を$0$以上の整数とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．

(1)自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2)$r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3)ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して，
\[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \]
が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
(4)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots$に$p$で割り切れる数が現れないとする．このとき，$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ．

$m,\ n (m<n)$を自然数とし，
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．

$m,\ n (m<n)$を自然数とし，
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．

$n$を自然数とする．$1$から$2n$までの番号をつけた$2n$枚のカードを袋に入れ，よくかき混ぜて$n$枚を取り出し，取り出した$n$枚のカードの数字の合計を$A$，残された$n$枚のカードの数字の合計を$B$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n$が奇数のとき，$A$と$B$が等しくないことを示せ．
(2)$n$が偶数のとき，$A$と$B$の差は偶数であることを示せ．
(3)$n=4$のとき，$A$と$B$が等しい確率を求めよ．

$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作$(*)$を考える．

\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，

(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．



はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．

(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．

$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．