「自然数」について
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公立 尾道市立大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)$3$を引いても$12$を足しても平方数となる自然数をすべて求めなさい．
(2)$3^n$を$5$で割ると$1$余るという性質を持つ最小の自然数$n$は何か答えなさい．
(3)$179x+767y=1$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい．
(1)$3$を引いても$12$を足しても平方数となる自然数をすべて求めなさい．
(2)$3^n$を$5$で割ると$1$余るという性質を持つ最小の自然数$n$は何か答えなさい．
(3)$179x+767y=1$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい．
公立 大阪府立大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$m$を整数とし，不定積分
\[ I=\int x^m \log x \, dx \]
を計算せよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)$n$を$3$以上の自然数とする．正$n$角形の頂点から相異なる$3$点を選んで三角形を作るとき，その三角形が二等辺三角形となる場合の数を$a_n$とする．
(i) $a_6,\ a_7$をそれぞれ求めよ．
(ii) 自然数$k$に対して，$a_{6k},\ a_{6k+1}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(1)$m$を整数とし，不定積分
\[ I=\int x^m \log x \, dx \]
を計算せよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)$n$を$3$以上の自然数とする．正$n$角形の頂点から相異なる$3$点を選んで三角形を作るとき，その三角形が二等辺三角形となる場合の数を$a_n$とする．
(i) $a_6,\ a_7$をそれぞれ求めよ．
(ii) 自然数$k$に対して，$a_{6k},\ a_{6k+1}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
公立 大阪府立大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle x-\frac{x^2}{2} \leqq \log (1+x) \leqq x$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\log (n \sqrt{n}+1)+\log (n \sqrt{n}+\sqrt{2})+\cdots +\log (n \sqrt{n}+\sqrt{n})-n \log (n \sqrt{n}) \]
と定めるとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
(1)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle x-\frac{x^2}{2} \leqq \log (1+x) \leqq x$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\log (n \sqrt{n}+1)+\log (n \sqrt{n}+\sqrt{2})+\cdots +\log (n \sqrt{n}+\sqrt{n})-n \log (n \sqrt{n}) \]
と定めるとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第4問$r$を$0$以上の整数とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．
(1)自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2)$r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3)ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して，
\[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \]
が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．
(1)自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2)$r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3)ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して，
\[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \]
が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
国立 九州大学 2014年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)任意の自然数$a$に対し，$a^2$を$3$で割った余りは$0$か$1$であることを証明せよ．
(2)自然数$a,\ b,\ c$が$a^2+b^2=3c^2$を満たすと仮定すると，$a,\ b,\ c$はすべて$3$で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)$a^2+b^2=3c^2$を満たす自然数$a,\ b,\ c$は存在しないことを証明せよ．
(1)任意の自然数$a$に対し，$a^2$を$3$で割った余りは$0$か$1$であることを証明せよ．
(2)自然数$a,\ b,\ c$が$a^2+b^2=3c^2$を満たすと仮定すると，$a,\ b,\ c$はすべて$3$で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)$a^2+b^2=3c^2$を満たす自然数$a,\ b,\ c$は存在しないことを証明せよ．
国立 九州大学 2014年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)任意の自然数$a$に対し，$a^2$を$3$で割った余りは$0$か$1$であることを証明せよ．
(2)自然数$a,\ b,\ c$が$a^2+b^2=3c^2$を満たすと仮定すると，$a,\ b,\ c$はすべて$3$で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)$a^2+b^2=3c^2$を満たす自然数$a,\ b,\ c$は存在しないことを証明せよ．
(1)任意の自然数$a$に対し，$a^2$を$3$で割った余りは$0$か$1$であることを証明せよ．
(2)自然数$a,\ b,\ c$が$a^2+b^2=3c^2$を満たすと仮定すると，$a,\ b,\ c$はすべて$3$で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)$a^2+b^2=3c^2$を満たす自然数$a,\ b,\ c$は存在しないことを証明せよ．
国立 九州大学 2014年 第5問$2$以上の自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=(x-1)(2x-1) \cdots (nx-1) \]
と定義する．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$に対して，$f_n(x)$が区間$\displaystyle \frac{1}{k+1}<x<\frac{1}{k}$でただ$1$つの極値をとることを証明せよ．
\[ f_n(x)=(x-1)(2x-1) \cdots (nx-1) \]
と定義する．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$に対して，$f_n(x)$が区間$\displaystyle \frac{1}{k+1}<x<\frac{1}{k}$でただ$1$つの極値をとることを証明せよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第4問平面上に半径$1$と半径$2$の同心円$C_1$と$C_2$がある．自然数$n$に対して，$C_2$の周を$3n$等分する$3n$個の点がある．この$3n$個の点の中から異なる$3$点を選ぶとき，次の$(*)$をみたす選び方の総数を$a_k (k=0,\ 1,\ 2,\ 3)$とする．
$(*)$ 選んだ$3$点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうど$k$個が$C_1$の周と共有点をもつ．
次の問いに答えよ．
(1)$n=2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を$n$の式で表せ．
$(*)$ 選んだ$3$点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうど$k$個が$C_1$の周と共有点をもつ．
次の問いに答えよ．
(1)$n=2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を$n$の式で表せ．
国立 京都大学 2014年 第5問自然数$a,\ b$はどちらも$3$で割り切れないが，$a^3+b^3$は$81$で割り切れる．このような$a,\ b$の組$(a,\ b)$のうち，$a^2+b^2$の値を最小にするものと，そのときの$a^2+b^2$の値を求めよ．
国立 京都大学 2014年 第4問次の式
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=2a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)次の不等式
\[ {a_n}^2-2a_n>10^{15} \]
を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$0.3010<\log_{10}2<0.3011$であることは用いてよい．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=2a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)次の不等式
\[ {a_n}^2-2a_n>10^{15} \]
を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$0.3010<\log_{10}2<0.3011$であることは用いてよい．