関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^x (-t+x)(t-x+2) \, dt$で定義されている．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$の整式で表せ．
(2)$y=f(x)$の極値を求めよ．
(3)$k \geqq 0$を定数とする．$x$に関する方程式$f(x)=k$が自然数の解をもつときの定数$k$をすべて求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$は$a^2=2b$を満たす自然数とする．このとき，$a$は偶数であることを，背理法を用いて証明せよ．
(2)$c,\ d,\ e$は$c^2+d^2=3e$を満たす自然数とする．このとき，$c,\ d,\ e$はいずれも$3$の倍数であることを証明せよ．
(3)すべての自然数$n$に対して$n^{19}-n$を$19$で割った余りは$0$であることを証明せよ．

$l,\ m$を$0$以上の整数とする．$n$を自然数とする．実数の数列$\{a_n\}$に対して$x$の$l$次多項式$P_m(x) (l \leqq m)$が$P_m(n)=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ m+1)$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ m+1$のとき，$P_{m+1}(n)-P_m(n)$の値をすべて求めよ．
(2)$P_{m+1}(0)-P_m(0)={(-1)}^{m+1}(a_{m+2}-P_m(m+2))$となることを示せ．
(3)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3,\ a_4=5$のとき，$P_3(6)$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{n+1}<\log \left( 1+\frac{1}{n} \right)<\frac{1}{n}$を証明せよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(2)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right) \]
(3)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(4)区分求積法を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(5)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right) \]

点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -1,\ \frac{1}{2} \right)$および放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．点$\mathrm{A}$を通る傾き$m$の直線を$\ell$とする．ただし，$m$は正である．次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$の交点の座標を$m$で表せ．
(2)第$2$象限において$C$，$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積$S(m)$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．$\displaystyle \frac{T(m)}{mS(m)}=18$となる$m$に対し，$\displaystyle \frac{n}{10}<m<\frac{n+1}{10}$を満たす自然数$n$を求めよ．

点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -1,\ \frac{1}{2} \right)$および放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．点$\mathrm{A}$を通る傾き$m$の直線を$\ell$とする．ただし，$m$は正である．次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$の交点の座標を$m$で表せ．
(2)第$2$象限において$C$，$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積$S(m)$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．$\displaystyle \frac{T(m)}{mS(m)}=18$となる$m$に対し，$\displaystyle \frac{n}{10}<m<\frac{n+1}{10}$を満たす自然数$n$を求めよ．

自然数$n$に対して，$0$以上の実数を定義域とする$x$の関数$R_n(x)$を
\[ R_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-\sum_{k=0}^{n-1}(-x^p)^k \]
とする．ただし，$p$は正の定数である．以下の問いに答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2)次の等式を示せ．
\[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3)以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．

(i) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$

(ii) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$

ともに目盛りのない$3 \, \ell$の容器$\mathrm{A}$と$5 \, \ell$の容器$\mathrm{B}$を一つずつ用いるとき，次の問いに答えなさい．

(1)$4 \, \ell$の水を量る手順を，次の例にならって説明しなさい．
（例）$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$，$\mathrm{B}$に$0 \, \ell$の水が入っている状態を$\mathrm{AB}(3,\ 0)$で表す．また，はじめに$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$の水を入れ，次に，$\mathrm{B}$に$5 \, \ell$の水を入れていくとき，
\[ \mathrm{AB}(0,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 5) \]
のように表すものとする．
(2)$n \, \ell$以上の水が量れることを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．ただし，$n$は$9$以上の自然数とする．

$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)白玉$4$個，赤玉$3$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率を求めよ．
(2)白玉$4$個，赤玉$n$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率$p_n$を求めよ．
(3)$p_n>p_{n+1}$をみたす$n$の範囲を求めよ．
(4)$p_n$が最大となる$n$をすべて求めよ．

$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)次の等式を示せ．
\[ \comb{n+2}{3}+\comb{n+2}{2}=\comb{n+3}{3} \]
(2)$(1)$の結果を利用して，数学的帰納法により，次の等式を証明せよ．
\[ \sum_{i=1}^n \comb{i+1}{2}=\comb{n+2}{3} \]