$5$個の連続な自然数の和が$1000$であるとき，この連続な自然数の一番小さい数は$[シ][ス][セ]$である．

$U=\{x \;|\; x \text{は$8$以下の自然数} \}$を全体集合とし，その部分集合を$A=\{2,\ 4,\ 6\}$，$B=\{1,\ 3,\ 4,\ 7\}$とする．$\overline{A}$に属する自然数は$[ア]$個あり，$A \cap \overline{B}$に属する自然数は$[イ]$個あり，$\overline{A \cap B}$に属する自然数は$[ウ]$個ある．

下の図のような道があり，$\mathrm{A}_0$から$\mathrm{A}_n$（$n$は$4$以下の自然数）まで行く最短経路の総数を$a_n$とするとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イウ]$，$a_4=[エオ]$である．
（図は省略）

数列$\{a_n\}$が，$a_n=7n-5$と定められている．ここで，$n$は自然数とする．

(1)$3$桁の値になる$a_n$は$[$6$]$個ある．また，その和は$[$7$]$である．
(2)$3$桁の$a_n$のうち，$4$で割って$3$余る$a_n$は$[$8$]$個ある．また，その和は$[$9$]$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)以下の不等式を解きなさい．

(i) $-x<6$
(ii) $-3x+1<x<5x-8$

(2)$(x-3)(x+3)(x^2+9)(x^4+81)$を展開しなさい．
(3)以下の数を有理数，無理数，整数，自然数，実数に分類し解答欄に記入しなさい．
\[ 0.5 \qquad \sqrt{2} \qquad 4 \qquad -18 \qquad 0 \qquad 0.\dot{3} \]
解答欄

\begin{tabular}{|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|}
\hline
有理数 & 無理数 & 整数 & 自然数 & 実数 \\ \hline
& $\phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}}$ & & & \\ \hline
\end{tabular}

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の式を展開しなさい．

(i) $(x-1)(x-2)(x+2)(x+1)$
(ii) $(x+3)^2(x-3)^2$

(2)$m+n=1$となる整数$m$と自然数$n$の組み合わせを次の$\zenkakkoa$～$\zenkakkoki$からすべて選びなさい．
$\zenkakkoa m=1,\ n=0$ \qquad $\zenkakkoi m=0,\ n=1$ \qquad $\zenkakkou m=3,\ n=-2$
$\displaystyle \zenkakkoe m=-0.5,\ n=1.5$ \qquad $\displaystyle \zenkakkoo m=\frac{3}{5},\ n=\frac{2}{5}$ \qquad $\zenkakkoka m=-\sqrt{1},\ n=\sqrt{4}$
$\zenkakkoki m=-5,\ n=6$

(3)$\displaystyle -\frac{4x-1}{3} \leqq x+1$を解きなさい．

(4)$|x+6|>3x$を解きなさい．

関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=e^{-x}\sin x$，$g(x)=e^{-x}\cos x$とおく．$f(x),\ g(x)$の不定積分を$\displaystyle I=\int f(x) \, dx$，$\displaystyle J=\int g(x) \, dx$とおく．$k$を自然数とし，$(k-1) \pi \leqq x \leqq k\pi$において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，および$2$直線$x=(k-1) \pi$，$x=k\pi$で囲まれる$2$つの部分の面積の和を$S_k$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$I=J+F(x)+C_1$，$J=-I+G(x)+C_2$を満たす関数$F(x)$，$G(x)$を求めよ．ただし，$C_1$，$C_2$は積分定数である．
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)$S_k$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty S_k$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$5 \tan \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\frac{\sin^4 \theta-\cos^4 \theta}{12 \sin \theta \cos \theta+6}$の値を求めよ．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の$7$個の数字がある．これらの数字を並べて$7$桁の整数を作る．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．このとき，偶数が隣り合わないような$7$桁の整数は全部で$J$個できる．また，これらの$J$個の中で奇数となるものは$K$個できる．$J$と$K$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．関数$f(x)=(x-2) \sqrt{x^4(x+1)^2}$に対して，定積分$\displaystyle B=m \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値が整数となる$m$の最小値$M$の値を求めよ．また，このときの$B$の値を求めよ．

$\{a_n\}$を初項$a_1=A$，公差$d$の等差数列とする．自然数$j$と$k$に対して
\[ S(j,\ k)=\sum_{i=j}^k a_i=a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots +a_k \]
とおく．$S(1,\ 10)=800$，$S(11,\ 20)=200$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$j<k$とする．

(1)定数$A$と$d$の値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{S(n+1,\ n^2)}{n(n-1)}=\alpha n^2+\beta n+\gamma$をみたす定数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の値を求めよ．

(3)$S(n+1,\ n^2)<0$となる$n$の最小値$N$の値を求めよ．

(4)$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n a_{5i}$とおくとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(T_n)^2}{S(n+1,\ n^2)}$の値を求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=\frac{5a_n+9}{-a_n+11} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a_n<3$を示せ．
(4)$a_n<a_{n+1}$を示せ．
(5)$a_n$が自然数となる$n$をすべて求めよ．