$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式
\[ (*) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \]
が成り立つことを利用して，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ii) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

(4)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．

$a$を自然数とし，関数$f(x)=x^3+2x^2+ax+4$は$x=x_1$で極大，$x=x_2$で極小になるものとする．また，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$の中点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$a=1$であることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$は曲線$y=f(x)$上にあることを示せ．
(4)点$\mathrm{R}$における曲線$y=f(x)$の接線は，点$\mathrm{R}$以外に$y=f(x)$との共有点をもたないことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$を定数とし，$0<a<1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]

次の問いに答えよ．

(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$は正の定数で，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]

$20$枚のカードに$1$から$20$までの自然数が$1$つずつ書かれている．この中からカードを$3$枚同時に取り出すとき，次の問に答えよ．

(1)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(2)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の和が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の最小公倍数が$10$以下になる確率を求めよ．ただし，$2$つ以上の自然数に共通な正の倍数のうちで最小のものを最小公倍数という．

$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を

$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$

とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．

(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．

$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式
\[ (*) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \]
が成り立つことを利用して，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ii) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

(4)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．

$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を

$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$

とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．

(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．
(5)$X_1(X_2+X_3)$が実数となる．

$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を

$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$

とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．

(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．

次の問いに答えよ．

(1)$r$を$|r|<1$である実数とする．自然数$n$に対して
\[ S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1} \]
とおく．
\[ S=\lim_{n \to \infty} S_n \]
を$r$の式で表せ．ただし$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$であることを用いてよい．
(2)$n$を自然数とする．$2$人の弓道部員$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が矢を的に命中させる確率は，$\mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{4}{5}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \frac{1}{2}$である．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が的に向かってそれぞれ$n$回ずつ矢を射る．

(i) $n=1$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_1$とし，$\mathrm{A}$の射る矢が命中せずに$\mathrm{B}$の射る矢が命中する確率を$q_1$とする．$p_1+q_1$を求めよ．
(ii) $n \geqq 2$のとき，$1$回目から$(n-1)$回目まで$\mathrm{A}$の射る矢も$\mathrm{B}$の射る矢も命中せず，$n$回目に$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_n$とする．$p_n$を求めよ．
(iii) $n \geqq 2$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢は$1$回目から$n$回目まで命中せず，$\mathrm{B}$の射る矢は$1$回目から$(n-1)$回目まで命中せずに$n$回目のみ命中する確率を$q_n$とする．$q_n$を求めよ．

(3)$(2)$で求めた$p_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して
\[ E=\sum_{n=1}^\infty (2n-1)p_n \]
とおく．$E$の値を求めよ．