$1$辺の長さが$1$（メートル）の正三角形の紙がある．この三角形の$3$頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を次のようにとる．

点$\mathrm{Q}$を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$に重なる．

ここで，$\mathrm{BP}=x$（メートル），$\mathrm{PQ}=y$（メートル）とおくとき，
\[ x^2-([テ]-y)x+[ト]-[ナ]y=0 \]
が成り立つ．これを$x$についての方程式とみると，$0 \leqq x \leqq 1$であるから
\[ [ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]} \leqq y \leqq 1 \]
となる．したがって，$\mathrm{AQ}$が最小となるのは，$y=[ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]}$のときであり，このとき，$\angle \mathrm{BAP}=[ノ]^\circ$である．ただし，$[ネ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

$n$が$2$以上の自然数のとき，
\[ 2^{2^n}-6 \]
は$10$で割り切れることを示せ．

$2$つのサイコロを振り，出た目の和が$n$であるとき，$n$の「奇数部分」を得点とする．ただし，自然数$n$の「奇数部分」とは
\[ n=2^km \quad (k \text{は} 0 \text{以上の整数，} m \text{は奇数}) \]
と表したときの$m$のこととする．たとえば
\[ 4=2^2 \times 1,\quad 5=2^0 \times 5,\quad 6=2^1 \times 3 \]
であるので，$4,\ 5,\ 6$の「奇数部分」はそれぞれ$1,\ 5,\ 3$である．

(1)得点が$9$である確率を求めよ．
(2)得点が$1$である確率を求めよ．
(3)得点の期待値を求めよ．

不等式
\[ \frac{1}{\log_27}+\frac{1}{\log_37}+\frac{1}{\log_m7}<4 \]
を満たす最大の自然数$m$を求めよ．

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
-4 & 3
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$A^2,\ A^3$を計算せよ．
(2)自然数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)自然数$n$について$A^n$の逆行列を求めよ．

自然数$a,\ b$に関する命題，

(i) $a,\ b$が両方とも奇数ならば$ab$は奇数である．
(ii) $ab$が奇数ならば$a^2+b^2$は偶数である．
(iii) $3a+2b$が奇数ならば，$a,\ b$は両方とも奇数である．

について，次の問に答えよ．

(1)これらの命題のうち，真であるものは$[　]$．
(2)これらの命題のうち，逆が真であるものは$[　]$．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[　]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[　] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[　] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[　]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[　]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[　]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[　]$円である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の動点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として，$x=e^{-2t} \cos 2\pi t$，$y=e^{-2t} \sin 2\pi t$で表されている．

(1)点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=[　] \sqrt{[　]+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{[　]}{\sqrt{[　]+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3)$n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は，
\[ S_n=\sqrt{[　]+\pi^2} \left( e^{[　]}-[　] \right) e^{-2n} \]
である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{[　]+\pi^2}$である．
(4)$t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=[　]$，$b=[　]$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin [$*$] \pi t+\pi (1-\cos [$*$] \pi t) \} \, dt$である．

$1$から$6$までの番号を$1$つずつ書いた$6$枚のカードがある．この$6$枚のカードを並べてできる$6$桁の自然数について次の問いに答えよ．

(1)番号$1$または番号$6$のカードがいずれも端になく，この$2$枚のカードが隣り合う並べ方は$[　]$通りある．
(2)$6$桁の自然数を小さい順に並べたとき，$315$番目の$6$桁の自然数は$[　]$である．

行列$P$で表される$1$次変換によって平面上の点$(-2,\ 1)$と点$(1,\ 1)$が，それぞれ点$(-1,\ 3)$，点$(2,\ 6)$に移る．

(1)$P$を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
a & b \\
-5 & 8
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
c & 0 \\
0 & d
\end{array} \right) \]
が
\[ AP=PB \]
を満たしているとする．このとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)$P$が逆行列$P^{-1}$をもつことを示し，$(PBP^{-1})^2$を求めよ．
(4)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．