「自然数」について
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私立 早稲田大学 2010年 第5問表の出る確率が$p \ (0<p<1)$，裏の出る確率が$1-p$の硬貨が1枚ある．$n$を自然数とする．この硬貨を$2n$回投げたとき，表が$n+1$回以上出る確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(2)$P_3>P_2$となる$p$の範囲を求めよ．
(3)$P_{n+1}-P_n = p^{n+1}(1-p)^n(ap+b)$となる$a,\ b$を$n$を用いて表せ．ただし$a,\ b$は$p$を含まないとする．
(4)$\displaystyle p=\frac{7}{16}$のとき，$P_n$を最大にする$n$を求めよ．
(1)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(2)$P_3>P_2$となる$p$の範囲を求めよ．
(3)$P_{n+1}-P_n = p^{n+1}(1-p)^n(ap+b)$となる$a,\ b$を$n$を用いて表せ．ただし$a,\ b$は$p$を含まないとする．
(4)$\displaystyle p=\frac{7}{16}$のとき，$P_n$を最大にする$n$を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第3問$2$次方程式$x^2+2x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}$の値を求めよ．
(2)$2$次方程式$2x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}$となるように，係数$a,\ b$の値を定めよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(3)$\alpha^3$および$\beta^3$の値を求めよ．
(4)$i$を虚数単位，$n$を自然数とするとき，
$c(n)=\displaystyle\frac{1}{\left\{i-\left(\displaystyle \strut \frac{\alpha}{2}\right)^n\right\}\left\{i-\left(\displaystyle\frac{\beta}{2}\right)^n\right\}}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}$の値を求めよ．
(2)$2$次方程式$2x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}$となるように，係数$a,\ b$の値を定めよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(3)$\alpha^3$および$\beta^3$の値を求めよ．
(4)$i$を虚数単位，$n$を自然数とするとき，
$c(n)=\displaystyle\frac{1}{\left\{i-\left(\displaystyle \strut \frac{\alpha}{2}\right)^n\right\}\left\{i-\left(\displaystyle\frac{\beta}{2}\right)^n\right\}}$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第1問次の各問に答えよ．
(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2010年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．この四面体を$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面で切り，この平面が線分$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めることを考えよう．\\
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2010年 第6問放物線$y=3x^2-12x (m \leqq x \leqq m+2)$と$3$直線$y=0$，$x=m$，$x=m+2$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．ただし，$m$は定数で$2<m<4$とする．このとき，$S$は$m=[テ]+\sqrt{[ト]}$で最小値$[ナ]+[ニ]\sqrt{[ヌ]}$をとる．ただし，$[ヌ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 金沢工業大学 2010年 第6問数列$\{a_n\}$を初項$1$，公差$\displaystyle \frac{1}{2}$の等差数列，$\{b_n\}$を初項$2$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，$\{c_n\}$を$c_1=3$，$c_{n+1}-c_n=n+1$で定まる数列とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の点$(a_n,\ b_n,\ c_n)$を$\mathrm{P}_n$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\left( \frac{[キ]}{[ク]} (n+[ケ]),\ 2^{[コ]-n},\ \frac{[サ]}{[シ]}(n^2+n+[ス]) \right)$である．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}=\left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ -[タ]^{1-n},\ n+[チ] \right)$である．
(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}|>100$となるような最小の自然数$n$は$[ツテ]$である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\left( \frac{[キ]}{[ク]} (n+[ケ]),\ 2^{[コ]-n},\ \frac{[サ]}{[シ]}(n^2+n+[ス]) \right)$である．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}=\left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ -[タ]^{1-n},\ n+[チ] \right)$である．
(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}|>100$となるような最小の自然数$n$は$[ツテ]$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第1問$m,\ n$を自然数とする．$m$を$7$で割ると$3$余り，$m^2 +n$を$7$で割ると$1$余る．このとき，$n$を$7$で割るといくら余るか．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第1問$m,\ n$を自然数とする．$m$を$7$で割ると$3$余り，$m^2 +n$を$7$で割ると$1$余る．このとき，$n$を$7$で割るといくら余るか．
私立 早稲田大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$が$n=p^2q$（$p,\ q$は素数，$p \neq q$）の形で表されるとき，$n$の正の約数は$6$個あり，それらの和は
\[ ([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
と表すことができる．このような$n$で正の約数の和が$2n$となるような数を求める．正の約数の和が$2n$であるから，
\[ 2p^2q=([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
が成り立つ．$[ク]+p+p^2$は奇数であり，$p$の倍数ではないから，$[ケ]+q$は$2p^2$の倍数となり，
\[ [ケ]+q=2p^2k \quad (k \text{は自然数}) \]
とおける．したがって，
\[ q=([ク]+p+p^2)k \]
となるが，$q$は素数であるから，$k=[コ]$である．よって
\[ p^2-p-[サ]=0 \]
これを解いて，$p=[シ]$である．ゆえに$n=[ス]$である．
(2)条件
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められる数列$\{a_n\}$に対して，$\displaystyle b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となり，これより，数列$\{a_n\}$の一般項は
\[ a_n=\frac{[セ] \cdot [ソ]^n+[タ]}{[チ]^n-[ツ]} \]
となる．
(1)自然数$n$が$n=p^2q$（$p,\ q$は素数，$p \neq q$）の形で表されるとき，$n$の正の約数は$6$個あり，それらの和は
\[ ([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
と表すことができる．このような$n$で正の約数の和が$2n$となるような数を求める．正の約数の和が$2n$であるから，
\[ 2p^2q=([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
が成り立つ．$[ク]+p+p^2$は奇数であり，$p$の倍数ではないから，$[ケ]+q$は$2p^2$の倍数となり，
\[ [ケ]+q=2p^2k \quad (k \text{は自然数}) \]
とおける．したがって，
\[ q=([ク]+p+p^2)k \]
となるが，$q$は素数であるから，$k=[コ]$である．よって
\[ p^2-p-[サ]=0 \]
これを解いて，$p=[シ]$である．ゆえに$n=[ス]$である．
(2)条件
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められる数列$\{a_n\}$に対して，$\displaystyle b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となり，これより，数列$\{a_n\}$の一般項は
\[ a_n=\frac{[セ] \cdot [ソ]^n+[タ]}{[チ]^n-[ツ]} \]
となる．
私立 東北学院大学 2010年 第5問次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$n$は自然数とする．
(1)$x$が無理数ならば，$x^2$と$x^3$の少なくとも一方は無理数である．
(2)$x+y,\ xy$がともに有理数ならば，$x,\ y$はともに有理数である．
(3)$n^2$が$8$の倍数ならば，$n$は$4$の倍数である．
(1)$x$が無理数ならば，$x^2$と$x^3$の少なくとも一方は無理数である．
(2)$x+y,\ xy$がともに有理数ならば，$x,\ y$はともに有理数である．
(3)$n^2$が$8$の倍数ならば，$n$は$4$の倍数である．