「自然数」について
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国立 小樽商科大学 2010年 第1問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)不等式$4 \log_{\frac{1}{4}}(x-4)+\log_2(x-2)>0$を解くと[ ]．
(2)下図において，地点Aから地点Bへの最短経路の総数は[ ]．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(3)$2010!=2^nm \ (m \text{は奇数})$のとき，自然数$n$を求めると$n=[ ]$．
(1)不等式$4 \log_{\frac{1}{4}}(x-4)+\log_2(x-2)>0$を解くと[ ]．
(2)下図において，地点Aから地点Bへの最短経路の総数は[ ]．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(3)$2010!=2^nm \ (m \text{は奇数})$のとき，自然数$n$を求めると$n=[ ]$．
国立 小樽商科大学 2010年 第3問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[ ]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[ ]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[ ]$．
(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[ ]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[ ]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[ ]$．
国立 滋賀大学 2010年 第3問数の集まり$\{1\},\ \{1,\ 2\},\ \{1,\ 2,\ 3\},\ \{1,\ 2,\ 3,\ 4\},\ \cdots$について，次のように並べてできる数列
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$100$以下の自然数$k$について，$a_k-a_{k+1} \geqq 9$となる$k$の最小値と最大値を求めよ．
(2)$a_{225}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{225}a_k$を求めよ．
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$100$以下の自然数$k$について，$a_k-a_{k+1} \geqq 9$となる$k$の最小値と最大値を求めよ．
(2)$a_{225}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{225}a_k$を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2010年 第5問$n$を2以上の自然数として，階乗$n!$を素数の積で表すときに現れる2の個数を$a_n$とおく．すなわち$\displaystyle \frac{n!}{2^{a_n}}$は奇数である．
(1)$\displaystyle \frac{(2n)!}{2^nn!}$は奇数であることを示せ．
(2)$a_{2n}-a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n=2^k \ (k \text{は自然数})$のとき，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$a_n<n$を示せ．
(5)$\sqrt[n]{n!}$は無理数であることを示せ．
(1)$\displaystyle \frac{(2n)!}{2^nn!}$は奇数であることを示せ．
(2)$a_{2n}-a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n=2^k \ (k \text{は自然数})$のとき，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$a_n<n$を示せ．
(5)$\sqrt[n]{n!}$は無理数であることを示せ．
国立 京都教育大学 2010年 第3問$a,\ x$を自然数とする．$x^2+x-(a^2+5)=0$をみたす$a,\ x$の組を全て求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第2問自然数$N$は$30$の倍数である．
\begin{align}
& U=\{x \;|\; x \text{は}1 \text{以上} N \text{以下の奇数} \}, \nonumber \\
& A=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}3 \text{の倍数} \}, \nonumber \\
& B=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}5 \text{の倍数} \}, \nonumber
\end{align}
とし，集合$U,\ A,\ B,\ A \cap B$の要素の個数をそれぞれ$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$と表す．次の問いに答えよ．
(1)$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$を$N$を用いて表せ．
(2)$N$以下の素数の個数を$P_N$とするとき，不等式$P_N \leqq u_N-a_N-b_N+c_N+2$を示せ．
(3)(2)の$P_N$について，$\displaystyle \frac{P_N}{N} \leqq \frac{1}{3}$を示せ．
\begin{align}
& U=\{x \;|\; x \text{は}1 \text{以上} N \text{以下の奇数} \}, \nonumber \\
& A=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}3 \text{の倍数} \}, \nonumber \\
& B=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}5 \text{の倍数} \}, \nonumber
\end{align}
とし，集合$U,\ A,\ B,\ A \cap B$の要素の個数をそれぞれ$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$と表す．次の問いに答えよ．
(1)$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$を$N$を用いて表せ．
(2)$N$以下の素数の個数を$P_N$とするとき，不等式$P_N \leqq u_N-a_N-b_N+c_N+2$を示せ．
(3)(2)の$P_N$について，$\displaystyle \frac{P_N}{N} \leqq \frac{1}{3}$を示せ．
国立 宮城教育大学 2010年 第3問座標平面上に点$\mathrm{B}_n(b_n,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C}_n \left( \frac{b_n+b_{n+1}}{2},\ \frac{1}{2^{n-1}} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．ただし，$b_n \leqq b_{n+1}$である．$2$点$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_{n+1}$間の距離を$\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$で表すとき，$\displaystyle \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{B}_{n+2}=\frac{1}{2} \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$が成立している．$b_1=0,\ b_2=1$のとき，次の問いに答えよ．
(1)$d_n=\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$とおくとき，$d_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を$n$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は同一直線上にあることを示せ．
(4)$\log_{10}2=0.3010$として，$b_n<1.99$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
(1)$d_n=\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$とおくとき，$d_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を$n$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は同一直線上にあることを示せ．
(4)$\log_{10}2=0.3010$として，$b_n<1.99$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
国立 福岡教育大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)円$x^2+y^2=1$と放物線$y=x^2+5$との共通の接線のうち，円と第$1$象限で接する接線の方程式を求めよ．
(2)$n \geqq 2$であるような自然数$n$に対して
\[ 1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+\cdots +(n-1) \cdot n \cdot (n+1)=(1+2+3+\cdots +n)(2+3+\cdots +n) \]
が成り立つことを示せ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}} \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(1)円$x^2+y^2=1$と放物線$y=x^2+5$との共通の接線のうち，円と第$1$象限で接する接線の方程式を求めよ．
(2)$n \geqq 2$であるような自然数$n$に対して
\[ 1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+\cdots +(n-1) \cdot n \cdot (n+1)=(1+2+3+\cdots +n)(2+3+\cdots +n) \]
が成り立つことを示せ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}} \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2010年 第5問$n$を$5$以上の自然数とする．箱の中に，$1$から$n$までの自然数を$1$つずつ書いた$n$枚のカードがある．このとき，次の問に答えよ．
(1)箱から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの数の和が$6$である確率を$n$で表せ．
(2)箱から$3$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$3$枚のカードの数の最大値を$M$とする．このとき，$M \leqq 5$である確率を$n$で表せ．
(3)最大値$M$の期待値を$n$で表せ．
(1)箱から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの数の和が$6$である確率を$n$で表せ．
(2)箱から$3$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$3$枚のカードの数の最大値を$M$とする．このとき，$M \leqq 5$である確率を$n$で表せ．
(3)最大値$M$の期待値を$n$で表せ．
国立 東京海洋大学 2010年 第2問$1$から順に自然数$n$を$2n$個ずつ並べた数列
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \sitabrace{n,\ n,\ \cdots,\ n}_{2n個},\ \cdots \]
を考える．
(1)第$200$項を求めよ．
(2)初項から第$200$項までの和を求めよ．
(3)初項から第$k$項までの和が$5555$以上になるような最小の$k$を求めよ．
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \sitabrace{n,\ n,\ \cdots,\ n}_{2n個},\ \cdots \]
を考える．
(1)第$200$項を求めよ．
(2)初項から第$200$項までの和を求めよ．
(3)初項から第$k$項までの和が$5555$以上になるような最小の$k$を求めよ．