「自然数」について
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国立 愛媛大学 2010年 第8問$n$を自然数とし，$\displaystyle f(x)=x^2e^{-\frac{2}{3}x^3}$とする．
(1)関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^n f(x) \, dx$を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\frac{3}{2}e^{-\frac{2}{3}}$を証明せよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^n f(x) \, dx$を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\frac{3}{2}e^{-\frac{2}{3}}$を証明せよ．
国立 愛媛大学 2010年 第9問$n$を自然数とし，集合$A,\ B$を
\begin{align}
A= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(★)をみたす自然数} \} \nonumber \\
B= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(☆)をみたす自然数} \} \nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．
\mon[(★)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha-\beta$は整数である．
\mon[(☆)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha,\ \beta$をもつ．
(1)$2$つの集合$A,\ B$について，$A=B$が成り立つことを証明せよ．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $n=1,\ 2$のそれぞれの場合について，集合$A$を，要素を書き並べて表せ．
(ii) 集合$A$の要素のうち，最大の数を求めよ．
(iii) 集合$A$のすべての要素の和を求めよ．
\begin{align}
A= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(★)をみたす自然数} \} \nonumber \\
B= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(☆)をみたす自然数} \} \nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．
\mon[(★)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha-\beta$は整数である．
\mon[(☆)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha,\ \beta$をもつ．
(1)$2$つの集合$A,\ B$について，$A=B$が成り立つことを証明せよ．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $n=1,\ 2$のそれぞれの場合について，集合$A$を，要素を書き並べて表せ．
(ii) 集合$A$の要素のうち，最大の数を求めよ．
(iii) 集合$A$のすべての要素の和を求めよ．
国立 大阪教育大学 2010年 第4問点Pは数直線上の原点から出発して，「確率$p$で$+1$，確率$1-p$で$+2$」の移動を繰り返す．ただし$0 \leqq p \leqq 1$とする．このような移動を繰り返して自然数$n$の点に到達する確率を$p_n$と表す．次の問に答えよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．
国立 新潟大学 2010年 第3問次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列$\{p_n\}$について考える．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)$4$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$7$になる確率を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=75^\circ,\ \angle \mathrm{B}=60^\circ,\ \mathrm{AB}=1$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)$4$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$7$になる確率を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=75^\circ,\ \angle \mathrm{B}=60^\circ,\ \mathrm{AB}=1$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
国立 新潟大学 2010年 第3問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -3 \\
2 & d
\end{array} \right)$は，ある実数$k$に対して等式$A^2=kA$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(1)$k$と$d$の値を求めよ．
(2)実数$b$と$c$が等式
\[ (E+bA)(E+2A)=E+cA \]
を満たすとき，$c$を$b$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$が任意の自然数$n$に対して等式
\[ (E+2A)^n=E+a_nA \]
を満たすとき，$a_n$を$n$で表せ．
1 & -3 \\
2 & d
\end{array} \right)$は，ある実数$k$に対して等式$A^2=kA$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(1)$k$と$d$の値を求めよ．
(2)実数$b$と$c$が等式
\[ (E+bA)(E+2A)=E+cA \]
を満たすとき，$c$を$b$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$が任意の自然数$n$に対して等式
\[ (E+2A)^n=E+a_nA \]
を満たすとき，$a_n$を$n$で表せ．
国立 鹿児島大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第5問2次の正方行列$A,\ B$について，次の各問いに答えよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{4}{5} & b \\
c & d
\end{array} \right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．
(2)行列$B$の表す移動（1次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$を満たす点$(x,\ y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．
(4)$B \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)$を満たす列ベクトル$\left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{4}{5} & b \\
c & d
\end{array} \right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．
(2)行列$B$の表す移動（1次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$を満たす点$(x,\ y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．
(4)$B \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)$を満たす列ベクトル$\left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2010年 第1問自然数$n$に対して，$\{a_n\}$は初項$a$，一般項$a_n$の数列であり，$\{b_n\}$ \\
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．