「自然数」について
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国立 山形大学 2010年 第3問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に対して$\Delta=ad-bc$とおく．このとき，行列
\[ S=\biggl( \begin{array}{cc}
s-2 & 4-s \\
4-s & 2-s
\end{array} \biggr),\quad T=\biggl( \begin{array}{cc}
1-t & t^2-1 \\
t+1 & t-1
\end{array} \biggr) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$S$が$\Delta=-2$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $S$を求めよ．
\mon[(ii)] $S^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(2)$S$が$\Delta=0$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $T$を求めよ．
\mon[(ii)] $T^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $(E+T)^n$を求めよ．ただし，$E$は2次の単位行列とし，$n$は自然数とする．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に対して$\Delta=ad-bc$とおく．このとき，行列
\[ S=\biggl( \begin{array}{cc}
s-2 & 4-s \\
4-s & 2-s
\end{array} \biggr),\quad T=\biggl( \begin{array}{cc}
1-t & t^2-1 \\
t+1 & t-1
\end{array} \biggr) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$S$が$\Delta=-2$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $S$を求めよ．
\mon[(ii)] $S^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(2)$S$が$\Delta=0$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $T$を求めよ．
\mon[(ii)] $T^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $(E+T)^n$を求めよ．ただし，$E$は2次の単位行列とし，$n$は自然数とする．
国立 電気通信大学 2010年 第1問$n$を自然数とし，$x$を変数とする関数
\[ f_n(x)=(nx+n+1)e^x,\quad g_n(x)=(nx+n-1)e^{-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$g_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x$軸と$y$軸および曲線$y=f_n(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$x$軸と$y$軸および曲線$y=g_n(x)$で囲まれた図形の面積$T_n$を求めよ．ただし，$n \geqq 2$とする．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{S_n}$を求めよ．
\[ f_n(x)=(nx+n+1)e^x,\quad g_n(x)=(nx+n-1)e^{-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$g_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x$軸と$y$軸および曲線$y=f_n(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$x$軸と$y$軸および曲線$y=g_n(x)$で囲まれた図形の面積$T_n$を求めよ．ただし，$n \geqq 2$とする．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{S_n}$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2010年 第5問$n$を自然数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の$n$個の積を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right) \]
とする．$ad-bc=3$のとき，次の問いに答えよ．ただし，$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c,\ d_1=d$である．
(1)$a_nd_n-b_nc_n=3^n$を数学的帰納法によって証明せよ．
(2)$a+d=1$のとき，$a_3+d_3$を求めよ．
(3)$a+d=0$のとき，$a_n+d_n$を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の$n$個の積を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right) \]
とする．$ad-bc=3$のとき，次の問いに答えよ．ただし，$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c,\ d_1=d$である．
(1)$a_nd_n-b_nc_n=3^n$を数学的帰納法によって証明せよ．
(2)$a+d=1$のとき，$a_3+d_3$を求めよ．
(3)$a+d=0$のとき，$a_n+d_n$を求めよ．
国立 茨城大学 2010年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$n$を$3$以上の自然数とする．整式$x^n$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りを求めよ．
(2)数列
\[ 1,\quad 1+3+1,\quad 1+3+9+3+1,\quad 1+3+9+27+9+3+1,\quad \cdots \]
の第$n$項から第$2n$項までの和を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(3)微分可能な関数$f(x)$が$f(0)=0$かつ$f^\prime(0)=\pi$を満たすとき，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{\theta \to 0} \frac{f(1-\cos 2\theta)}{\theta^2} \]
(1)$n$を$3$以上の自然数とする．整式$x^n$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りを求めよ．
(2)数列
\[ 1,\quad 1+3+1,\quad 1+3+9+3+1,\quad 1+3+9+27+9+3+1,\quad \cdots \]
の第$n$項から第$2n$項までの和を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(3)微分可能な関数$f(x)$が$f(0)=0$かつ$f^\prime(0)=\pi$を満たすとき，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{\theta \to 0} \frac{f(1-\cos 2\theta)}{\theta^2} \]
国立 秋田大学 2010年 第1問$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \pi (x+\pi) \sin \pi x \, dx$を求めよ．
(2)下の図のように，曲線$y = \pi(x+ \pi) \sin \pi x \ (0 \leqq x \leqq 2n-1)$と$x$軸とで囲まれた図形の$x$軸より上側にある部分を，原点側から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$，P$_n$と分けるとき，図形P$_k$の面積$S_k \ (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を$k$の式で表せ．
（図は省略）
(3)(2)の$S_k$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を$n$の式で表せ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \pi (x+\pi) \sin \pi x \, dx$を求めよ．
(2)下の図のように，曲線$y = \pi(x+ \pi) \sin \pi x \ (0 \leqq x \leqq 2n-1)$と$x$軸とで囲まれた図形の$x$軸より上側にある部分を，原点側から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$，P$_n$と分けるとき，図形P$_k$の面積$S_k \ (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を$k$の式で表せ．
（図は省略）
(3)(2)の$S_k$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を$n$の式で表せ．
国立 電気通信大学 2010年 第3問数列$\{a(n)\}$を$a(1)=1$および$n \geqq 1$に対して
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a(2n) = 3a(n) \\
a(2n+1)=2a(n)+a(n+1)
\end{array}
\right. \]
で定義する．以下の問いに答えよ．
(1)$a(2),\ a(3),\ a(4),\ a(5)$を求めよ．
次に数列$\{b(n)\}$を$b(1)=a(1)$および$n \geqq 2$に対して
\[ b(n)=a(n)-a(n-1) \]
で定義する．
\mon[(2)] $b(2),\ b(3),\ b(4),\ b(5)$を求めよ．
\mon[(3)] すべての自然数$n$に対して，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
b(2n) = 2b(n) \\
b(2n+1)=b(n+1)
\end{array}
\right. \]
が成り立つことを証明せよ．
\mon[(4)] 自然数$k$に対して$b(2^k)$および$b(2^k+1)$を計算せよ．
\mon[(5)] 自然数$k$に対して$a(2^k-1)$を計算せよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a(2n) = 3a(n) \\
a(2n+1)=2a(n)+a(n+1)
\end{array}
\right. \]
で定義する．以下の問いに答えよ．
(1)$a(2),\ a(3),\ a(4),\ a(5)$を求めよ．
次に数列$\{b(n)\}$を$b(1)=a(1)$および$n \geqq 2$に対して
\[ b(n)=a(n)-a(n-1) \]
で定義する．
\mon[(2)] $b(2),\ b(3),\ b(4),\ b(5)$を求めよ．
\mon[(3)] すべての自然数$n$に対して，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
b(2n) = 2b(n) \\
b(2n+1)=b(n+1)
\end{array}
\right. \]
が成り立つことを証明せよ．
\mon[(4)] 自然数$k$に対して$b(2^k)$および$b(2^k+1)$を計算せよ．
\mon[(5)] 自然数$k$に対して$a(2^k-1)$を計算せよ．
国立 電気通信大学 2010年 第4問実数$a$に対し，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & a-2 \\
a+1 & -3
\end{array} \biggr),\quad E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)すべての$a$に対して$A$が逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列を求めよ．
(2)$E-A$が逆行列をもたないような$a$の値を求めよ．
以下では，$a$を(2)で求めた値のうち正のものとする．
\mon[(3)] $A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)$となる$b$を求めよ．また，$A \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)=k \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)$となる$k$を求めよ．
\mon[(4)] $b$を(3)で求めた値とし，$P=\biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
3 & 1
\end{array} \biggr)$とする．$AP=PQ$となる2次の正方行列$Q$を求めよ．
\mon[(5)] 自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & a-2 \\
a+1 & -3
\end{array} \biggr),\quad E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)すべての$a$に対して$A$が逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列を求めよ．
(2)$E-A$が逆行列をもたないような$a$の値を求めよ．
以下では，$a$を(2)で求めた値のうち正のものとする．
\mon[(3)] $A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)$となる$b$を求めよ．また，$A \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)=k \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)$となる$k$を求めよ．
\mon[(4)] $b$を(3)で求めた値とし，$P=\biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
3 & 1
\end{array} \biggr)$とする．$AP=PQ$となる2次の正方行列$Q$を求めよ．
\mon[(5)] 自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
国立 大阪教育大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx \]
とおく．次の問に答えよ．
(1)定積分$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(2)次の不等式を証明せよ．
\[ I_n \geqq I_{n+1}\]
(3)次の漸化式が成り立つことを証明せよ．
\[ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n \]
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} \]
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx \]
とおく．次の問に答えよ．
(1)定積分$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(2)次の不等式を証明せよ．
\[ I_n \geqq I_{n+1}\]
(3)次の漸化式が成り立つことを証明せよ．
\[ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n \]
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} \]
国立 茨城大学 2010年 第4問自然数$m,\ n$に対して，$m=qn+r, 0 \leqq r<n$となる整数$q$と$r$をそれぞれ$m$を$n$で割ったときの商と余りという．ここでは$m$を$n$で割ったときの余り$r$を$m\,@\,n$で表すことにする．$a,\ b,\ c$を自然数とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$1^2\,@\,3, 2^2\,@\,3, 3^2\,@\,3$を求め，$a>3$に対して$a^2\,@\,3$を求めよ．
(2)$(a+b)\,@\,c=\{(a\,@\,c)+(b\,@\,c)\}\,@\,c$となることを示せ．
(3)$a^2+b^2=c^2$のとき$a,\ b$の少なくともひとつは3の倍数であることを示せ．
(1)$1^2\,@\,3, 2^2\,@\,3, 3^2\,@\,3$を求め，$a>3$に対して$a^2\,@\,3$を求めよ．
(2)$(a+b)\,@\,c=\{(a\,@\,c)+(b\,@\,c)\}\,@\,c$となることを示せ．
(3)$a^2+b^2=c^2$のとき$a,\ b$の少なくともひとつは3の倍数であることを示せ．
国立 新潟大学 2010年 第2問次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列$\{p_n\}$について考える．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．