4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数$k,\ l,\ m$が次の条件

\mon[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)] $k$は$lm$の約数である

を満たすならば，$k$は$m$の約数である．
\end{screen}

(1)$a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \]
が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
\[ 2x^4-2x-1=0 \]
の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle 2 \sin k\theta \sin \frac{\theta}{2}=\cos \left( k-\frac{1}{2} \right) \theta - \cos \left( k+\frac{1}{2} \right) \theta$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \sin k\theta$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$と$r$を自然数とする．

\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．

(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．

定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．

定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．

$n$は2以上の自然数とする．1つの袋と1つの箱がある．袋には白玉3個と赤玉2個が入っており，箱には何も入っていない．次の操作を考える．

袋から玉を1個取り出し，白玉なら袋に戻し，赤玉なら箱に入れる．

この操作を$n$回繰り返す．$n$回目の操作の後，箱に入っている赤玉の個数を$X$とする．

(1)$k$を$n$以下の自然数とする．$k$回目の操作では赤玉を取り出し$k$回目以外の$n-1$回の操作では白玉を取り出す確率を$n$と$k$を用いて表せ．次に，$X=1$である確率$p_n$を求めよ．
(2)$X=2$である確率$q_n$を求めよ．
(3)$X$の期待値$E_n$を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\log (2-E_n)$を求めよ．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．

ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$3k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは$k$ポイント新たに獲得する．$(k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)$n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．$a_n$を求めよ．
(2)$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$0<p<1$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3)(1)で求めた$a_n$を$p$の関数と考え，$f_n(p)$と書くとき，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m f_n \left( \frac{k}{2m} \right) \]

$n$を自然数とするとき，
\[ 2\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}k(k-1)=(-1)^{n+1}n^2+\frac{(-1)^n-1}{2} \]
が成り立つことを示しなさい．

次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．

自然数の数列$\{a_n\}$が$a_1=1,\ 2a_n \leqq a_{n+1} \leqq 3a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)第5項$a_5$の取り得る値の範囲を答えよ．
(2)第$k$項$a_k$が$a_k=9$を満たす$k$の値と，そのときの初項から第$k$項までの候補をすべてあげよ．
(3)第$n$項$a_n$が$a_n=100$を満たすとき，$n$の取り得る値の範囲を答えよ．