「自然数」について
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国立 島根大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第3問方程式$x^3-1=0$の解のうち，1と異なるものの1つを$\omega$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．
(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第2問数列$\{a_n\}$が$\displaystyle a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{1}{2}\left( a_n+\frac{3}{a_n} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0<a_2-\sqrt{3}<\frac{1}{2}$を示せ．
(2)$n$が2以上の自然数であるとき，不等式$\displaystyle 0<a_n-\sqrt{3}< \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．
(1)$\displaystyle 0<a_2-\sqrt{3}<\frac{1}{2}$を示せ．
(2)$n$が2以上の自然数であるとき，不等式$\displaystyle 0<a_n-\sqrt{3}< \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)$a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．
(1)$p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)$a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．
国立 三重大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)$a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．
(1)$p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)$a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．
国立 三重大学 2010年 第4問$X$を2次の正方行列として以下の問いに答えよ．
(1)$p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n
\end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3)$m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
2^{m+1} & 2^{50} \\
0 & 2^{m+1}
\end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(1)$p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n
\end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3)$m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
2^{m+1} & 2^{50} \\
0 & 2^{m+1}
\end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第2問袋の中に1と書かれた球が$n$個，2と書かれた球が2個，3と書かれた球が1個，4と書かれた球が1個，合計$n+4$個入っている．ただし，$n$は2以上の自然数とする．この袋の中の球をよくかきまぜていくつかの球を取り出すとき，次の各問に答えよ．
(1)2個の球を取り出すとき，取り出した球の中に，1と書かれた球が少なくとも1個含まれる確率を，$n$を用いて表せ．
(2)2個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計の期待値を，$n$を用いて表せ．
(3)3個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計が6となる確率を，$n$を用いて表せ．
(1)2個の球を取り出すとき，取り出した球の中に，1と書かれた球が少なくとも1個含まれる確率を，$n$を用いて表せ．
(2)2個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計の期待値を，$n$を用いて表せ．
(3)3個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計が6となる確率を，$n$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2010年 第3問座標平面上に原点O$(0,\ 0)$と点A$(3,\ 0)$がある．自然数$n$に対して，点B$_n(0,\ n)$をとり，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．ただし，$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．