ある奇数の自然数$m$から始まる連続する奇数個の自然数の和が$2010$である．$m$を求めよ．

1個のいびつなさいころがある．$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{p}{2}$であり，$5,\ 6$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1-2p}{2}$である．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．このさいころを投げて，$xy$平面上の点Qを次のように動かす．

\mon[(i)] 1または2の目が出たときには，Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(ii)] 3または4の目が出たときには，Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(iii)] 5または6の目が出たときには，Qを動かさない．

Qは最初原点$(0,\ 0)$にある．このさいころを$(n+1)$回投げ，Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする．ただし，$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ．
(2)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ．
(3)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ，$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする．得点の期待値を求めよ．

2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を0以上30以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．

\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．

$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．

(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．

ある奇数の自然数$m$から始まる連続する奇数個の自然数の和が2010である．$m$を求めよ．

$n$を自然数とし，1から$n$までの自然数の積を$n!$で表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式$\displaystyle \int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \int_1^n \log x\, dx \leqq \log n!$を示し，不等式$n^ne^{1-n} \leqq n!$を導け．
(3)$x \geqq 0$に対して，不等式$x^ne^{1-x} \leqq n!$を示せ．

$y=x^3-mx+n$が$x$軸と接しているとする．

(1)$n^2$を$m$で表せ．
(2)$m,\ n$が自然数のときに，$n$が最小となるときの$m,\ n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は0以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．

数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は$0$以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr),\ P=\biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$に対して以下の問いに答えよ．

(1)$U=P^{-1}AP$とする．$U$を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$U^n$を推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$A^n$を求めよ．

方程式$x^3-1=0$の解のうち，1と異なるものの1つを$\omega$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．