座標平面において，点P$_n(a_n,\ b_n) \ (n \geqq 1)$を
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array}
\right) &=& \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right) \nonumber \\
\left(
\begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array}
\right) &=& \frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{n-1} \\
b_{n-1}
\end{array}
\right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
で定める．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，自然数$n$に対して，線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$l_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ．

自然数$m,\ n$に対して，自然数$m \diamond n$を次のように定める．

\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）

例えば，$1 \diamond 1=4,\ 1 \diamond 2=6,\ 2 \diamond 1=9,\ 4 \diamond 2=33,\ 5 \diamond 3=56,\ 1 \diamond 6=14,\ 6 \diamond 1=49$である．

(1)数列$8 \diamond 1,\ 8 \diamond 2,\ 8 \diamond 3,\ \cdots$の初項$8 \diamond 1$から第25項$8 \diamond 25$までの和を求めよ．
(2)$m \diamond n=474$を満たす自然数$m,\ n$の組をすべて求めよ．

次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1, a_2=3, a_{n+2}=a_n+a_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)すべての自然数$n$に対して
\[ X \left( \begin{array}{cc}
a_n & a_{n+1} \\
a_{n+1} & a_{n+2}
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a_{n+1} & a_{n+2} \\
a_{n+2} & a_{n+3}
\end{array} \right) \]
が成り立つように，行列$X$を定めよ．
(2)自然数$n$に対して$a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

$a,\ b,\ c$を9以下の自然数とし，2次式$f(x)=ax^2-bx+c$を考える．このとき，$f(x)$が次の条件を満たすような組$(a,\ b,\ c)$はそれぞれ何通りあるか．

(1)$f(1)=0$である．
(2)$f(1)=0$かつ$f(2)=0$である．
(3)$f(1)=0$または$f(2)=0$である．
(4)2次方程式$f(x)=0$は重解を持つ．

$n$は2以上の自然数とする．袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を A，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$が$4$で割ると$1$余る自然数ならば，積$xy$も$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(2)$0$以上の偶数$n$に対して，$3^n$を$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(3)$1$以上の奇数$n$に対して，$3^n$を$4$で割った余りが$1$でないことを証明せよ．
(4)$m$を$0$以上の整数とする．$3^{2m}$の正の約数のうち$4$で割ると$1$余る数全体の和を$m$を用いて表せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す1次変換$f$によって，点P$_1(1,\ 0)$が点P$_2(0,\ 3)$に移され，点P$_2$が点P$_3$に，点P$_3$が点P$_1(1,\ 0)$にそれぞれ移されるとする．次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数である．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
(3)O$(0,\ 0)$とする．点P$(\cos \theta,\ \sin \theta)$が$f$によって点Qに移されるとする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとり得る値の範囲を求めよ．

4で割ると余りが1である自然数全体の集合を$A$とする．すなわち，
\[ A=\{4k+1 \; | \; k\text{は0以上の整数} \} \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$および$y$が$A$に属するならば，その積$xy$も$A$に属することを証明せよ．
(2)0以上の偶数$m$に対して，$3^m$は$A$に属することを証明せよ．
(3)$m,\ n$を0以上の整数とする．$m+n$が偶数ならば$3^m7^n$は$A$に属し，$m+n$が奇数ならば$3^m7^n$は$A$に属さないことを証明せよ．
(4)$m,\ n$を0以上の整数とする．$3^{2m+1}7^{2n+1}$の正の約数のうち$A$に属する数全体の和を$m$と$n$を用いて表せ．

$n$は2以上の自然数とする．袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を A，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．
(4)$P_n(1) \geqq 0.9$となる最小の$n$を求めよ．

関数$f(x) = (x^2-x)e^{-x}$について，以下の問いに答えよ．必要ならば，任意の自然数$n$に対して
\[ \lim_{x \to +\infty} x^ne^{-x} = 0 \]
が成り立つことを用いてよい．

(1)$y = f(x)$のグラフの変曲点を求め，グラフの概形をかけ．
(2)$a > 0$とする．点$(0,\ a)$を通る$y = f(x)$のグラフの接線が1本だけ存在するような$a$の値を求めよ．また，$a$がその値をとるとき，$y = f(x)$のグラフ，その接線および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．