$1$から$5$までの自然数を$1$列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき$1$番目と$2$番目と$3$番目の数の和と，$3$番目と$4$番目と$5$番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重複なく$1$度ずつ用いるものとする．

次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{1}{2(k+1)}< \int_0^1 \frac{1-x}{k+x}\, dx < \frac{1}{2k} \]
(2)$m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \frac{m}{n} -\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \]

$2$つの箱LとR，ボール$30$個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を$0$以上$30$以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．

\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．

$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．

$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して$f_n(x)=(\log x)^n$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2)$\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3)(2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．

$p$を3以上の素数，$a,\ b$を自然数とする．以下の問に答えよ．ただし，自然数$m,\ n$に対し，$mn$が$p$の倍数ならば，$m$または$n$は$p$の倍数であることを用いてよい．

(1)$a+b$と$ab$がともに$p$の倍数であるとき，$a$と$b$はともに$p$の倍数であることを示せ．
(2)$a+b$と$a^2 +b^2$がともに$p$の倍数であるとき，$a$と$b$はともに$p$の倍数であることを示せ．
(3)$a^2 +b^2$と$a^3 +b^3$がともに$p$の倍数であるとき，$a$と$b$はともに$p$の倍数であることを示せ．

$N$を自然数とする．赤いカード2枚と白いカード$N$枚が入っている袋から無作為にカードを1枚ずつ取り出して並べていくゲームをする．2枚目の赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する．赤いカードが最初に取り出されるまでに取り出された白いカードの枚数を$X$とし，ゲーム終了時までに取り出された白いカードの総数を$Y$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$X=n$となる確率$p_n$を求めよ．
(2)$X$の期待値を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$Y=n$となる確率$q_n$を求めよ．

$a,\ b$を自然数とする．以下の問に答えよ．

(1)$ab$が3の倍数であるとき，$a$または$b$は3の倍数であることを示せ．
(2)$a+b$と$ab$がともに3の倍数であるとき，$a$と$b$はともに3の倍数であることを示せ．
(3)$a+b$と$a^2 +b^2$がともに3の倍数であるとき，$a$と$b$はともに3の倍数であることを示せ．

$\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n+1)}$を第$n$項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．
\begin{eqnarray}
& & \{a_1\},\quad \{a_2,\ a_3,\ a_4 \},\quad \{a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9\},\ \cdots \quad \nonumber \\
& & \text{第$1$群} \qquad \ \text{第$2$群} \qquad \qquad \quad \ \text{第$3$群} \nonumber
\end{eqnarray}
$k$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)第$k$群の最初の項を求めよ．
(2)第$k$群に含まれるすべての項の和$S_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle (k^2+1)S_k \leqq \frac{1}{100}$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．

連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2^x+3^y=43 \\
\log_2 x- \log_3 y=1
\end{array}
\right. \]
を考える．

(1)この連立方程式を満たす自然数$x,\ y$の組を求めよ．
(2)この連立方程式を満たす正の実数$x,\ y$は，(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれがさいころを$1$回ずつ投げる．
\begin{itemize}
同じ目が出たときは$\mathrm{A}$の勝ちとし，異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする．
$p,\ q$を自然数とする．$\mathrm{A}$が勝ったときは，$\mathrm{A}$が出した目の数の$p$倍を$\mathrm{A}$の得点とする．$\mathrm{B}$が勝ったときには，$\mathrm{B}$が出した目の数に$\mathrm{A}$が出した目の数の$q$倍を加えた合計を$\mathrm{B}$の得点とする．負けた者の得点は$0$とする．
\end{itemize}
$\mathrm{A}$の得点の期待値を$E_A$，$\mathrm{B}$の得点の期待値を$E_B$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$E_A,\ E_B$をそれぞれ$p,\ q$で表せ．
(2)$E_A = E_B$となる最小の自然数$p$と，そのときの$E_A$の値を求めよ．