「自然数」について
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公立 会津大学 2011年 第2問点P$(2,\ 1)$を点P自身に移し，点Q$(1,\ 2)$を点Q$_1(2,\ 4)$に移す1次変換$f$を表す行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．ただし，$n$を自然数とする．
(1)$A$を求めよ．
(2)$f$により点Rが点$(4,\ 5)$に移されるとき，点Rの座標を求めよ．
(3)$A^n$で表される1次変換により点Qが移される点をQ$_n$とする．点Q$_n$の座標を求めよ．
(4)$A^n$を求めよ．
(1)$A$を求めよ．
(2)$f$により点Rが点$(4,\ 5)$に移されるとき，点Rの座標を求めよ．
(3)$A^n$で表される1次変換により点Qが移される点をQ$_n$とする．点Q$_n$の座標を求めよ．
(4)$A^n$を求めよ．
公立 会津大学 2011年 第6問$n$を自然数とし，
\[ S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 \]
とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
(2)(1)の結果を利用して，$S_{3n}+n$が$3$の倍数であることを証明せよ．
\[ S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 \]
とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
(2)(1)の結果を利用して，$S_{3n}+n$が$3$の倍数であることを証明せよ．
公立 兵庫県立大学 2011年 第4問1枚の硬貨を繰り返し投げる．次の問いに答えよ．
(1)10回硬貨を投げたとき，表と裏がともに2回以上出る確率を求めよ．
(2)表と裏がともに2回以上出るまで硬貨を投げつづける試行をおこなう．ちょうど$n$回投げたときに試行が終わる確率を求めよ．ただし$n$は4以上の自然数である．
(1)10回硬貨を投げたとき，表と裏がともに2回以上出る確率を求めよ．
(2)表と裏がともに2回以上出るまで硬貨を投げつづける試行をおこなう．ちょうど$n$回投げたときに試行が終わる確率を求めよ．ただし$n$は4以上の自然数である．
公立 兵庫県立大学 2011年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$x>-1$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(2)$m$を自然数として，$p_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots,\ m-1)$は$\displaystyle p_1=1-\frac{1}{m}$と$\displaystyle p_k=\left( 1-\frac{k}{m} \right)p_{k-1}$ \ $(k=2,\ 3,\ \cdots,\ m-1)$で定められるものとする．$m=365$のとき，$\displaystyle \log p_n \leqq -\frac{n(n+1)}{730}$であることを示せ．
(1)$x>-1$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(2)$m$を自然数として，$p_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots,\ m-1)$は$\displaystyle p_1=1-\frac{1}{m}$と$\displaystyle p_k=\left( 1-\frac{k}{m} \right)p_{k-1}$ \ $(k=2,\ 3,\ \cdots,\ m-1)$で定められるものとする．$m=365$のとき，$\displaystyle \log p_n \leqq -\frac{n(n+1)}{730}$であることを示せ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第4問自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を$f_1(x)=x$，$n \geqq 2$のとき$f_n(x)=\displaystyle \int_0^x tf_{n-1}(x-t) \, dt$で定める．次の問いに答えよ．
(1)$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$を類推し，それが正しいことを証明せよ．
(1)$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$を類推し，それが正しいことを証明せよ．
公立 岐阜薬科大学 2011年 第6問関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^n}{x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)関数$f(x)$の増減，極値を調べよ．
(2)$n=3$のとき，関数$f(x)$の曲線の凹凸を調べ，そのグラフをかけ．
(1)関数$f(x)$の増減，極値を調べよ．
(2)$n=3$のとき，関数$f(x)$の曲線の凹凸を調べ，そのグラフをかけ．
公立 横浜市立大学 2011年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)関数
\[ f(x)=x \sin^2 x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値を与える$x$を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の分数式で表すと$[$1$]$となる．
(2)多項式
\[ a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 \]
を因数分解すると$[$2$]$となる．
(3)$N$を与えられた自然数とし，$f(x)$および$g(x)$を区間$(-\infty,\ \infty)$で$N$回以上微分可能な関数とする．$f(x)$と$g(x)$から定まる関数を次のように定義する．$t$を与えられた実数として，
\[ \begin{array}{lll}
(f *_t g)(x) &=& \sum_{k=0}^N \displaystyle\frac{t^k}{2^k k!} f^{(k)}(x)g^{(k)}(x) \\
&=& \displaystyle f(x)g(x)+\frac{t}{2}f^\prime(x)g^\prime(x)+\cdots +\frac{t^N}{2^N N!} f^{(N)}(x)g^{(N)}(x)
\end{array} \]
とおく．ここに，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数である（$g^{(k)}(x)$も同様である）．$a$を実数，$n$を$N$以下の自然数とする．$f(x)=e^{2ax}$，$g(x)=x^n$にたいし，二項定理を用いて$(f *_t g)(x)$を計算すると$[$3$]$となる．
(4)関係式
\[ f(x)+\int_0^x f(t)e^{x-t} \, dt=\sin x \]
をみたす微分可能な関数$f(x)$を考える．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めると，$f^\prime(x)=[$4$]$となる．$f(0)=[$5$]$であるから$f(x)=[$6$]$となる．
(1)関数
\[ f(x)=x \sin^2 x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値を与える$x$を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の分数式で表すと$[$1$]$となる．
(2)多項式
\[ a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 \]
を因数分解すると$[$2$]$となる．
(3)$N$を与えられた自然数とし，$f(x)$および$g(x)$を区間$(-\infty,\ \infty)$で$N$回以上微分可能な関数とする．$f(x)$と$g(x)$から定まる関数を次のように定義する．$t$を与えられた実数として，
\[ \begin{array}{lll}
(f *_t g)(x) &=& \sum_{k=0}^N \displaystyle\frac{t^k}{2^k k!} f^{(k)}(x)g^{(k)}(x) \\
&=& \displaystyle f(x)g(x)+\frac{t}{2}f^\prime(x)g^\prime(x)+\cdots +\frac{t^N}{2^N N!} f^{(N)}(x)g^{(N)}(x)
\end{array} \]
とおく．ここに，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数である（$g^{(k)}(x)$も同様である）．$a$を実数，$n$を$N$以下の自然数とする．$f(x)=e^{2ax}$，$g(x)=x^n$にたいし，二項定理を用いて$(f *_t g)(x)$を計算すると$[$3$]$となる．
(4)関係式
\[ f(x)+\int_0^x f(t)e^{x-t} \, dt=\sin x \]
をみたす微分可能な関数$f(x)$を考える．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めると，$f^\prime(x)=[$4$]$となる．$f(0)=[$5$]$であるから$f(x)=[$6$]$となる．
国立 豊橋技術科学大学 2010年 第1問$1$から順に自然数を並べた数列を，下のように，$3$個，$6$個，$9$個，$\cdots$と，第$n$組に含まれる自然数の個数が$3n$個となるような組に分ける．
\[ 1,\ 2,\ 3 \;|\; 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9 \;|\; 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18 \;|\; 19,\ 20,\ 21,\ \cdots \]
この数列に関する以下の問いに答えよ．
(1)第$n$組の先頭の自然数の値を，$n$を用いた式で表せ．
(2)第$n$組に含まれる自然数の総和を，$n$を用いた式で表せ．
(3)第$1$組から第$n$組までに含まれる自然数の総和を，$n$を用いた式で表せ．
(4)自然数$1000$は，第何組の何番目に現れるか求めよ．
\[ 1,\ 2,\ 3 \;|\; 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9 \;|\; 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18 \;|\; 19,\ 20,\ 21,\ \cdots \]
この数列に関する以下の問いに答えよ．
(1)第$n$組の先頭の自然数の値を，$n$を用いた式で表せ．
(2)第$n$組に含まれる自然数の総和を，$n$を用いた式で表せ．
(3)第$1$組から第$n$組までに含まれる自然数の総和を，$n$を用いた式で表せ．
(4)自然数$1000$は，第何組の何番目に現れるか求めよ．
国立 京都大学 2010年 第1問$1$から$5$までの自然数を$1$列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき$1$番目と$2$番目と$3$番目の数の和と，$3$番目と$4$番目と$5$番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重複なく$1$度ずつ用いるものとする．
国立 一橋大学 2010年 第5問$n$を3以上の自然数とする．サイコロを$n$回投げ，出た目の数をそれぞれ順に$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_n$とする．$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$に対して$X_i=X_{i-1}$となる事象を$A_i$とする．
(1)$A_2,\ A_3,\ \cdots,\ A_n$のうち少なくとも1つが起こる確率$p_n$を求めよ．
(2)$A_2,\ A_3,\ \cdots,\ A_n$のうち少なくとも2つが起こる確率$q_n$を求めよ．
(1)$A_2,\ A_3,\ \cdots,\ A_n$のうち少なくとも1つが起こる確率$p_n$を求めよ．
(2)$A_2,\ A_3,\ \cdots,\ A_n$のうち少なくとも2つが起こる確率$q_n$を求めよ．