次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して
\[ \int_1^x f(t) \, dt =(\log x)^2+a^3x-2a-4 \]
を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x\{1+(\log x)^2\}} \; dx$
(2)$\displaystyle \int_0^\pi x^2 \cos nx \; dx \quad (n\text{は自然数})$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \cos m\pi x \; \cos n\pi x \; dx \quad (m,\ n \text{は0以上の整数})$

次の各問に答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．

$r$を正の定数とし，$n$を$3$以上の自然数とする．$C$が半径が$r$の円とする．円$C$に内接する正$n$角形の$1$辺の長さを$s_n$，円$C$に外接する正$n$角形の$1$辺の長さを$t_n$とする．ただし，正$n$角形が円$C$に外接するとは，円$C$が正$n$角形のすべての辺に接することである．

(1)$s_n$を$r$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{s_n}{t_n}$を$n$を用いて表せ．
(3)$s_5=2$であるとき，円$C$に内接する正$5$角形の面積を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．ただし，$\tan 36^\circ=0.727$としてよい．

$f(x)=e^{-x}\cos x$とする．

(1)$e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \]
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
\[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

実数を成分に持つ行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \biggr)$とベクトル$P=\biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr),\ Q=\biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b \neq 0$とする．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2)次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ．
\[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3)(1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ．
\[ \alpha \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
x & y
\end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
z & w
\end{array} ) \]
(4)(3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$とする．このとき数学的帰納法により，
\[ s_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} \]
であることを示せ．
(2)$a_1=0,\ a_2=1$とし，自然数$n$に対して，$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n+1$を満たす数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ．

\mon[(i)] $b_n=a_{n+1}-a_n$とするとき，数列$\{b_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
\mon[(ii)] $b_n$を(1)で与えた$s_n$を用いて表せ．
\mon[(iii)] 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$とし，また，行列$B$を
\[ B=A+t \biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array} \biggr) \]
とする．ただし，$t$は0でない実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
1
\end{array} \biggr)=k_1 \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
1
\end{array} \biggr)$を満たす実数$k_1$および$x_1$の値を求めよ．
(2)$B \biggl( \begin{array}{c}
x_2 \\
1
\end{array} \biggr)=k_2 \biggl( \begin{array}{c}
x_2 \\
1
\end{array} \biggr)$を満たす実数$k_2$および$x_2$を$t$を用いて表せ．ただし，$k_2$は(1)で求めた$k_1$とは異なるものとする．
(3)$n$を自然数とする．(1)で求めた$x_1$と(2)で求めた$x_2$に対して，$B^n \biggl( \begin{array}{cc}
x_1 & x_2 \\
1 & 1
\end{array} \biggr)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(4)自然数$n$に対して，$B^n$の$(1,\ 1)$成分を$b_n(t)$とするとき，$\displaystyle \lim_{t \to 0}b_n(t)$を$n$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を2以上の自然数とするとき，不等式$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx< \log 1+\log 2+\cdots +\log n$が成り立つことを示せ．
(2)$a$を正の実数とするとき，上の不等式を用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!}=0$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( 2+\displaystyle\frac{n}{n+1} \right)^n}{n!}$を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ケ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$を表し，$2$を底とする対数関数を$\log_2 (x)$とする．このとき，
\[ \log_2(1!)-\log_2(2!)+\log_2(3!)-\log_2(4!)=[ア] \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$a$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$，辺$\mathrm{AB}$の長さを$c$，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．$S$を$b,\ c$と$\mathrm{A}$を使って表すと，
\[ S=\frac{1}{2}bc [イ] \]
となる．また，$a,\ b,\ c,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の間には
\[ b=a \frac{[ウ]}{\sin \mathrm{A}},\quad c=a \frac{[エ]}{\sin \mathrm{A}} \]
という関係がある．よって，$S$を$a,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$で表すと，
\[ S=\frac{1}{2}a^2 [オ] \]
となる．とくに，$\mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{C}=45^\circ$，$a=1$のときには，
\[ \sin \mathrm{B}=[カ],\quad \sin \mathrm{C}=[キ] \]
また，
\[ \sin \mathrm{A}=[ク] \]
だから，
\[ S=\frac{-1+[ケ]}{4} \]
となる．