自然数$n$に対し$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} \sin \left( \frac{k^2 \pi}{4} \right)$と定める．以下の問いに答えよ．

(1)$S_4$を求めよ．
(2)$n$が奇数ならば，$S_{n+1}=S_n$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

$p_1=4$，$q_1=-1$であり，自然数$n$に対して$\left\{ \begin{array}{l}
p_{n+1}=-p_n-6q_n \\
q_{n+1}=p_n+4q_n
\end{array} \right.$で定められた数列$\{p_n\}$，$\{q_n\}$を考える．

(1)すべての自然数$n$に対して等式$p_{n+1}+aq_{n+1}=b(p_n+aq_n)$が成り立つような実数$a,\ b$の組を求めよ．
(2)一般項$p_n,\ q_n$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$n$を自然数とする．次の式の値を求めよ．$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+{(2n-1)}^2-{(2n)}^2$
(2)赤球$6$個と白球$4$個が入っている袋から$3$個の球を同時に取り出したとき，赤球が$2$個で白球が$1$個になる確率を求めよ．
(3)$p,\ q,\ r$は実数とする．平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して，点$\mathrm{Q}(x^\prime,\ y^\prime)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=x+py \\
y^\prime=qx+ry
\end{array} \right. \]
で定める．直線$y=2x+1$を$\ell$とおく．点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くとき，常に点$\mathrm{Q}$も直線$\ell$上にあるための$p,\ q,\ r$の条件を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B} \displaystyle \biggl( 0,\ \frac{1}{2},\ 0 \biggr)$，$\mathrm{C} \displaystyle \biggl( 0,\ 0,\ \frac{1}{3} \biggr)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすようにとり，点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ケ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[コ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[サ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[シ]} \]
となる．ただし，$[シ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

公正な硬貨$X$を$3$回投げる．「$1$回目に表が出る」という事象を$A$，「$3$回目に表が出る」という事象を$B$，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする．このとき，
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．

次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 6
\end{array} \right)$とする．点$(x,\ y)$が$xy$平面上を動くとき，行列$A$による変換$\left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$で移される点$(X,\ Y)$は$XY$平面上の直線$\ell:Y=[ト]X$上を動く．

次に，行列$G=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$が$AGA=A$を満たすとする．点$(X,\ Y)$が$\ell$上を動くとき，その各点で列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$が定まる．このとき，列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$の大きさは$X$の値により変化するが，いずれの場合においても$\displaystyle a=\frac{[ナ]}{[ニ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のとき最小となる．ただし，$[ニ]$，$[ネ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

数列$\{a_n\}$が次の式によって与えられているとする．
\[ a_n = \left( 1-\frac{1}{4} \right) \left( 1-\frac{1}{9} \right) \left( 1-\frac{1}{16} \right) \cdots \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して，それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい．
(2)$a_n$の一般項を推定し，推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3)$\displaystyle a_n > \frac{1}{2}+\frac{100}{n^2}$をみたす最小の$n$を求めなさい．

数列$\{a_n\}$が$a_1 = 2,\ a_{n+1} −2a_n +a_na_{n+1}=0$を満たしている．以下の問に答えよ．

(1)すべての自然数$n$について$a_n>0$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とするとき，$b_n$と$b_{n+1}$の関係を式で表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．

次の連立不等式を満たす自然数$n$をすべて求めなさい．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
3n+20 \geqq 7n-5 \\
-n+1>3(3-2n)
\end{array}
\right. \]